重心坐标, 数学中, 是由单形, 如三角形或四面体等, 顶点定义的坐标, 是齐次坐标的一种, 设v1, vn是向量空间v中一个单形的顶点, 如果v中某点p满足, displaystyle, lambda, cdots, lambda, lambda, cdots, lambda, 那么我们称系数, p关于v1, vn的, 这些顶点自己的坐标分别是, 不是惟一的, 对任何不等于零的k, 也是p的, 但总可以取坐标满足, 称为正规化坐标, 注意到定义式在仿射变换下不变, 故具有仿射不变性, 如果坐标分量都非负, 则p在. 数学中 重心坐标是由单形 如三角形或四面体等 顶点定义的坐标 重心坐标是齐次坐标的一种 设v1 vn是向量空间V中一个单形的顶点 如果V中某点p满足 l 1 l n p l 1 v 1 l n v n displaystyle lambda 1 cdots lambda n p lambda 1 v 1 cdots lambda n v n 那么我们称系数 l1 ln 是 p关于v1 vn的重心坐标 这些顶点自己的坐标分别是 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 重心坐标不是惟一的 对任何不等于零的k k l1 k ln 也是p的重心坐标 但总可以取坐标满足 l1 ln 1 称为正规化坐标 注意到定义式在仿射变换下不变 故重心坐标具有仿射不变性 如果坐标分量都非负 则p在v1 vn的凸包内部 即由这些顶点组成的单形包含p 我们设想如果有质量l1 ln分别位于单形的顶点 那么质量中心就是p 这是术语 重心 的起源 1827年由奥古斯特 费迪南德 莫比乌斯最初引入 目录 1 三角形的重心坐标 1 1 坐标变换 1 2 判断一点的位置 1 3 应用 2 四面体的重心坐标 3 参考文献 4 外部链接三角形的重心坐标 编辑 nbsp 在三角形情形中 重心坐标也叫面积坐标 因为P点关于三角形ABC的重心坐标和三角形PBC PCA及PAB的 有向 面积成比例 证明如下 如右图所示 我们用黑体小写字母表示对应点的向量 比如三角形ABC顶点为a b displaystyle textbf a textbf b nbsp 和c displaystyle textbf c nbsp P点为p displaystyle textbf p nbsp 等 设PBC PCA及PAB面积之比为l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp 且l 1 l 2 l 3 1 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 1 nbsp 设射线AP与BC交于D 则 B D D C l 3 l 2 displaystyle BD DC lambda 3 lambda 2 nbsp 从而d l 2 b l 3 c l 2 l 3 displaystyle textbf d frac lambda 2 textbf b lambda 3 textbf c lambda 2 lambda 3 nbsp A P P D l 2 l 3 l 1 displaystyle AP PD lambda 2 lambda 3 lambda 1 nbsp 故 p l 2 l 3 d l 1 a l 1 l 2 l 3 displaystyle textbf p frac lambda 2 lambda 3 textbf d lambda 1 textbf a lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp p l 1 a l 2 b l 3 c displaystyle textbf p lambda 1 textbf a lambda 2 textbf b lambda 3 textbf c nbsp 所以 l 1 l 2 l 3 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 nbsp 就是P的重心坐标 坐标变换 编辑 给定三角形平面一点P 我们将这一点的面积坐标l 1 displaystyle lambda 1 nbsp l 2 displaystyle lambda 2 nbsp 和l 3 displaystyle lambda 3 nbsp 用笛卡尔坐标表示出来 利用笛卡尔坐标中的三角形面积公式 S A B C 1 2 1 x a y a 1 x b y b 1 x c y c displaystyle S ABC frac 1 2 begin vmatrix 1 amp x a amp y a 1 amp x b amp y b 1 amp x c amp y c end vmatrix nbsp 我们可得 l 1 S P B C S A B C 1 x p y p 1 x b y b 1 x c y c 1 x a y a 1 x b y b 1 x c y c displaystyle lambda 1 S PBC S ABC begin vmatrix 1 amp x p amp y p 1 amp x b amp y b 1 amp x c amp y c end vmatrix begin vmatrix 1 amp x a amp y a 1 amp x b amp y b 1 amp x c amp y c end vmatrix nbsp 类似地有l 2 l 3 displaystyle lambda 2 lambda 3 nbsp 注意ABC构成一个三角形 上式的分母不可能为0 反过来则简单得多 p l 1 a l 2 b l 3 c displaystyle textbf p lambda 1 textbf a lambda 2 textbf b lambda 3 textbf c nbsp 故 x p l 1 x a l 2 x b l 3 x c displaystyle x p lambda 1 x a lambda 2 x b lambda 3 x c nbsp 和 y p l 1 y a l 2 y b l 3 y c displaystyle y p lambda 1 y a lambda 2 y b lambda 3 y c nbsp 判断一点的位置 编辑 因重心坐标是笛卡尔坐标的一个线性变换 从而它们在边和三角形区域之间的变化是线性的 如果点在三角形内部 那么所有重心坐标属于开区间 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 如果一点在三角形的边上 至少有一个面积坐标l 1 3 displaystyle lambda 1 3 nbsp 为0 其余分量位于闭区间 0 1 displaystyle 0 1 nbsp 如果有某个坐标小于0 则位于三角形外部 具体分布可参考上图 图示中 B和C顶端的坐标正负反了 B的应该是 C的是 应用 编辑 面积坐标在涉及到三角形子区域的工程学问题时特别有用 经常可以化简解析积分求值 高斯积分法表也常以面积坐标的形式给出 考虑由顶点v 1 displaystyle textbf v 1 nbsp v 2 displaystyle textbf v 2 nbsp 和v 3 displaystyle textbf v 3 nbsp 定义的三角形T 任何在三角形内部的点p displaystyle textbf p nbsp 都能写成顶点的加权和 p l 1 v 1 l 2 v 2 l 3 v 3 displaystyle textbf p lambda 1 textbf v 1 lambda 2 textbf v 2 lambda 3 textbf v 3 nbsp 这里l 1 displaystyle lambda 1 nbsp l 2 displaystyle lambda 2 nbsp 和l 3 displaystyle lambda 3 nbsp 是面积坐标 注意到l 3 1 l 1 l 2 displaystyle lambda 3 1 lambda 1 lambda 2 nbsp 从而 函数f displaystyle f nbsp 在T上的积分为 T f p d s 2 S 0 1 0 1 l 2 f l 1 v 1 l 2 v 2 1 l 1 l 2 v 3 d l 1 d l 2 displaystyle int T f textbf p ds 2S int 0 1 int 0 1 lambda 2 f lambda 1 textbf v 1 lambda 2 textbf v 2 1 lambda 1 lambda 2 textbf v 3 d lambda 1 d lambda 2 nbsp 这里S是三角形T的面积 注意上式具有线性插值的形式 重心坐标提供了一种非结构网格上函数插值的方法 假设函数值在所有网格的顶点上已知 如果0 l i 1 i 1 2 3 displaystyle 0 leq lambda i leq 1 forall i in 1 2 3 nbsp 则点p displaystyle textbf p nbsp 位于三角形内部或边界上 我们取f displaystyle f nbsp 的插值为 f p l 1 f v 1 l 2 f v 2 l 3 f v 3 displaystyle f textbf p lambda 1 f textbf v 1 lambda 2 f textbf v 2 lambda 3 f textbf v 3 nbsp 这个线性插值是自动正规的因为l 1 l 2 l 3 1 displaystyle lambda 1 lambda 2 lambda 3 1 nbsp 四面体的重心坐标 编辑重心坐标容易推广到三维空间 3维单形即四面体 具有四个三角形面和四个顶点 完全类似于三角形 四面体v 1 v 2 v 3 v 4 displaystyle textbf v 1 textbf v 2 textbf v 3 textbf v 4 nbsp 的顶点v 1 displaystyle textbf v 1 nbsp 的重心坐标为 1 0 0 0 v 2 displaystyle textbf v 2 nbsp 为 0 1 0 0 如是等等 点p displaystyle textbf p nbsp 的笛卡尔坐标和为关于四面体v 1 v 2 v 3 v 4 displaystyle textbf v 1 textbf v 2 textbf v 3 textbf v 4 nbsp 的重心坐标的关系 l 1 Vol P V 2 V 3 V 4 Vol V 1 V 2 V 3 V 4 l 2 displaystyle lambda 1 text Vol PV 2 V 3 V 4 text Vol V 1 V 2 V 3 V 4 lambda 2 cdots nbsp 这里Vol V 1 V 2 V 3 V 4 displaystyle text Vol V 1 V 2 V 3 V 4 nbsp 为v 1 v 2 v 3 v 4 displaystyle textbf v 1 textbf v 2 textbf v 3 textbf v 4 nbsp 组成的四面体的体积 类似于三角形也可以用笛卡尔坐标的一个行列式表示出来 3维重心坐标和2维一样 可以确定一点是否位于四面体内部 也能对四面体网格上函数插值 因为利用重心坐标可以极大地简化3维插值 四面体网格经常用于有限元分析 参考文献 编辑Bradley Christopher J The Algebra of Geometry Cartesian Areal and Projective Co ordinates Bath Highperception 2007 ISBN 978 1 906338 00 8 埃里克 韦斯坦因 Areal Coordinates MathWorld 埃里克 韦斯坦因 Barycentric Coordinates MathWorld 外部链接 编辑重心坐标 一个有意思的运用 页面存档备份 存于互联网档案馆 解 三杯子问题 位于cut the knot 齐次重心坐标在平面欧几里得几何中的运用 取自 https zh wikipedia org w index php title 重心坐标 amp oldid 78539141, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,