连续集

连续集是测度论中的概念。给定测度${\displaystyle \mu }$中的波莱尔集${\displaystyle \mathbf {B} }$是连续集当且仅当：

${\displaystyle |\mu |(\partial B)=0\,.}$

在测度${\displaystyle \mu }$上的所有连续集的集合构成一个环^[1]。

类似地，对一个给定的随机变量${\displaystyle \mathbf {X} }$，一个波莱尔集${\displaystyle \mathbf {B} }$是连续集，当且仅当

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in \partial B)=0,}$

否则称${\displaystyle \mathbf {B} }$为不连续集。所有不连续集的集合是稀疏的。特别的，对于两两不交的波莱尔集的集合，其中至多有可数多个集合是不连续集^[2]。

对于拓扑上的映射${\displaystyle f}$，其连续集${\displaystyle C(f)}$是指其所有的连续点的集合：

${\displaystyle C(f)=\{x|\,f\,}$在${\displaystyle x}$处连续${\displaystyle \}}$

参考来源

1. Cuppens, R. (1975) Decomposition of multivariate probability. Academic Press, New York.
2. van der Vaart (1998) Asymptotic statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78450-4. Page 7