輻射轉移

輻射轉移（英語：radiative transfer）是以電磁輻射形式進行能量轉移的物理現象。經由介質傳播的輻射會受到吸收、發射和散射的影響。輻射轉移方程式就是以數學方式描述這些交互作用。描述輻射轉移現象的方程式稱為輻射轉移方程式（radiative transfer equation，RTE），它被廣泛應用在光學、天文物理學、大氣科學和遙測上。輻射轉移方程式在簡單狀況下存在解析解，但在實際狀況下常包含複雜的多重散射效應，此時必須使用數值方式求解。

輻射場

輻射轉移現象所描述的對象為輻射場（radiation field），而輻射場通常表達成譜輻射率（英语：Spectral radiance）（spectral radiance）^{[註 1]}關於位置 ${\displaystyle \mathbf {r} }$ 、方向 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$  和時間 ${\displaystyle t}$  的的函數，寫成 ${\displaystyle I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)}$ ^[1]。

譜輻射率 ${\displaystyle I_{\nu }}$  的定義如下。考慮一個位於 ${\displaystyle \mathbf {r} }$  的單位面積 ${\displaystyle \operatorname {d} \!a}$ ，如果在單位時間 ${\displaystyle \operatorname {d} \!t}$  內，有輻射能量 ${\displaystyle \operatorname {d} \!E_{\nu }}$  從單位立體角 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\Omega }$  流經單位面積 ${\displaystyle \operatorname {d} \!a}$ ，且頻率介於 ${\displaystyle \nu }$  和 ${\displaystyle \nu +{\operatorname {d} \!\nu }}$  這個區間之內（輻射的極化在這裡被忽略），則

${\displaystyle \operatorname {d} \!E_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos {\theta }\,{\operatorname {d} \!a}\,{\operatorname {d} \!\Omega }\,{\operatorname {d} \!t}\,{\operatorname {d} \!\nu }}$ ，

其中 ${\displaystyle \theta }$  是輻射的單位向量 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$  和單位面積法向的夾角。譜輻射率的單位是以能量/(時間⋅面積⋅立體角⋅頻率)表示，在MKS单位制中，就是W·m^-2·sr^-1·Hz^-1。

當一個區域內所有的點在所有方向上某一時刻的 ${\displaystyle I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)}$  都被指定，就構成一個輻射場。另外，譜輻射率為輻射度量學名詞，在傳統天文學領域常常稱為比強度（specific intensity）。

輻射轉移方程式

輻射轉移方程式是譜輻射率的微分方程式。先考慮一維的情形，令 ${\displaystyle s}$  是沿著輻射路徑傳播的距離；假如輻射通過真空，則它的譜輻射率不隨著輻射傳遞而改變，於是有

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=0}$ 。

現在考慮輻射通介質，則有三種交互作用會導致輻射轉移：

• 因為吸收（absorption）而失去能量
• 因為發射（emission）而獲得能量
• 因為散射（scattering）而重新分配能量

所以輻射轉移方程式可寫為

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!s}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }}$ 。

此處 ${\displaystyle j_{\nu }}$  是物質的譜發射係數^{[註 2]}，${\displaystyle \alpha _{\nu }}$  是物質的譜衰減係數^{[註 3]}，而且可寫成 ${\displaystyle \alpha _{\nu }=\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}}$ ，下標裡的 a 與 s 分別表示與吸收和散射的成分。在天文物理學中，常引入光深度 ${\displaystyle \tau }$  的概念；對上式使用 ${\displaystyle \operatorname {d} \!\tau =\alpha \operatorname {d} \!s}$  進行變數變換，可得到

${\displaystyle {\operatorname {d} \!{I_{\nu }} \over \operatorname {d} \!\tau _{\nu }}=S_{\nu }-I_{\nu }}$ ，

其中 ${\displaystyle S_{\nu }\equiv j_{\nu }/\alpha _{\nu }}$  是源函數（英语：Source function）^[2]。當所有頻率 ${\displaystyle \nu }$  的源函數都等於譜輻射率的時候，可得到 ${\displaystyle {\operatorname {d} \!I}/{\operatorname {d} \!s}=0}$ ，彷彿輻射是通過真空一樣，這就是輻射平衡（radiative equilibrium）條件。

如果考慮三維情形，輻射轉移方程式可寫為^[3][4]

${\displaystyle \left[{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla \right)\right]I_{\nu }=j_{\nu }-(\alpha _{\nu ,{\rm {a}}}+\alpha _{\nu ,{\rm {s}}})I_{\nu }+{\frac {\alpha _{\nu ,{\rm {s}}}}{4\pi }}\int _{\Omega }I_{\nu }{\operatorname {d} \!\Omega }}$ ，

其中 ${\displaystyle c}$ 是光速。等式左邊的微分算子用法向導數取代了對 ${\displaystyle s}$  的導數，還納入了 ${\displaystyle I_{\nu }}$  的時間導數；等式右邊第三項考量的是從四面八方散射而來的輻射，故取 ${\displaystyle I_{\nu }}$  的角度平均。

輻射轉移方程式的解

求解輻射轉移方程式是非常耗力的工作。不過可以依據各種形式的吸收和發射係數，進行適當簡化。譬如說，如果將吸收和散射忽略，只考慮物質的發射，則一維輻射轉移方程式的通解可以寫成：

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})\,e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')\,e^{-\tau (s',s)}{\operatorname {d} \!s'}}$ ，

這裡的 ${\displaystyle \tau (s_{1},s_{2})}$  是兩個位置 ${\displaystyle s_{1}}$  和 ${\displaystyle s_{2}}$  中間介質的光深度：

${\displaystyle \tau (s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds}$ 。

局部熱力平衡

一個特別有用的輻射轉移方程式簡化是局部熱力平衡（local thermodynamic equilibrium，LTE）狀態。這個狀態中，介質包含許多「局部」達到熱平衡的粒子，因此有一個可定義的溫度。但輻射場並非處在平衡狀態，並且是由大量存在的粒子驅動。在局部熱力平衡的介質中，發射係數和吸收係數只是溫度和密度函數，而且兩者的關係式為

${\displaystyle {\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$ ，

其中 ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$  是溫度 ${\displaystyle T}$  時的黑體輻射的譜輻射率（即普朗克黑體輻射定律）。此時，輻射轉移方程式的解為

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau (s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau (s',s)}\,{\operatorname {d} \!s'}}$ 。

了解介質的溫度和密度剖面曲線之後，就足以計算輻射轉移方程式的解。

愛丁頓近似

愛丁頓近似（Eddington approximation）是輻射轉移方程式的一種近似解，適用於氣象學中的平面平行大氣（plane-parallel atmosphere）模型及天文學中的灰色大氣（英语：Grey atmosphere）模型。在這些模型裡，大氣的各種熱力性質呈現層狀（slab-like）分布，換句話說，它們只會在垂直於層狀大氣的方向上（定義為 ${\displaystyle z}$  軸）發生變化，而不會在平行方向上出現變化。輻射路徑 ${\displaystyle s}$  上的變化量與 ${\displaystyle z}$  軸上的變化量的關係為^[5]

${\displaystyle {\operatorname {d} \!s}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\cos {\theta }}}={\frac {\operatorname {d} \!z}{\mu }}}$  。

我們稍後會解說定義 ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$  的作用。由於考慮的是平面平行大氣，所以我們預期譜輻射率也只是 ${\displaystyle z}$  和 ${\displaystyle \mu }$  的線性函數。使用變數變換 ${\displaystyle {\operatorname {d} \!s}={\operatorname {d} \!z}/\mu }$  ，代入一維輻射轉移方程式，則有

${\displaystyle \mu {\frac {\partial {I_{\nu }}}{\partial z}}=j_{\nu }-\alpha _{\nu }I_{\nu }}$ 

另一方面，我們定義譜輻射率 ${\displaystyle I_{\nu }}$  關於 ${\displaystyle \mu }$  的第 ${\displaystyle j}$  階動差^{[6][7][註 4]}：

${\displaystyle M_{j}\equiv {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{+1}\mu ^{j}I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}$ ，

之所以引入動差的概念，是因為在平面平行大氣中，有許多輻射相關的物理量是 ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$  的函數，只要使用變數變換 ${\displaystyle {\operatorname {d} \!\mu }=-\sin {\theta }\;{\operatorname {d} \!\theta }}$  ，就可以在角度積分中簡化算式。具體來說，假設 ${\displaystyle A(\cos {\theta })}$  是任意 ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$  的函數，則 ${\displaystyle A(\cos {\theta })}$  對於所有方向的立體角積分為^[8]

${\displaystyle \int A(\cos {\theta }){\operatorname {d} \!\Omega }=\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\pi =0}^{\pi }{A(\cos {\theta })\sin {\theta }\,{\operatorname {d} \!\theta }\,{\operatorname {d} \!\phi }}=2\pi \int _{-1}^{+1}{A(\mu )\,{\operatorname {d} \!\mu }}}$ 。

${\displaystyle I}$  關於 ${\displaystyle \mu }$  的前幾階動差是

${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$ ，

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu I(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$ ，

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}{\mu ^{2}I_{\nu }(\mu ){\operatorname {d} \!\mu }}}$ 。

此處 ${\displaystyle J}$  是輻射強度的角度平均（angle-averaged intensity），它恰好與能量密度 ${\displaystyle U}$  成正比；${\displaystyle H}$  是愛丁頓通量（Eddington flux），與輻射通量（英语：Radiative flux） ${\displaystyle F}$  成正比；${\displaystyle K}$  也與輻射壓 ${\displaystyle P}$  成正比。

所謂的愛丁頓近似就是將平面平行大氣中的輻射場視為「近似於各向同性」^[9]、但是有關於 ${\displaystyle \mu =\cos {\theta }}$  的一階異向性，簡單來說，就是假定 ${\displaystyle I}$  關於 ${\displaystyle \mu }$  的泰勒級數只保留到一次項，於是 ${\displaystyle I}$  成為 ${\displaystyle \mu }$  線性函數^[10]：

${\displaystyle I(z,\mu )=a(z)+b(z)\mu }$ 。

將這個函數代入上述動差的公式，可以得到

${\displaystyle J=a(z),\quad \,H={\frac {b(z)}{3}},\quad K={\frac {a(z)}{3}}}$ 。

於是得到愛丁頓近似的重要結果：

${\displaystyle K={\frac {J}{3}}}$ 。

這等價於各項同性輻射場的重要條件 ${\displaystyle P=U/3}$ ，不過差別在於愛丁頓近似適用於稍微具有異向性的輻射場。愛丁頓近似是由天文學家亞瑟·愛丁頓在研究恆星大氣時所提出^[11][6]。

愛丁頓近似與雙流近似（英语：two-stream approximation）不同。雙流近似是假設空間分為兩塊區域，輻射在其中一邊固定以某方向傳播，在另一邊固定以另一方向傳播。

參見

• 吸收 (光學)
• 原子谱线
• 比尔－朗伯定律
• 發射光譜
• 大氣輻射轉移模型
• 譜輻射率（英语：Spectral radiance）（輻射比強度（英语：Specific intensity））
• 辐射率
• 希沃特积分

註腳

1. 對於輻射相關的物理量而言，「譜」字（spectral）通常意味著該物理量是關於波長或頻率的導數；如果是對頻率微分，記號通常會加一個下標 ${\displaystyle \nu }$ ；如果是對波長微分，記號通常會加一個下標 ${\displaystyle \lambda }$ 。
2. MKS制單位為W·m⁻²·sr⁻¹·Hz⁻¹。
3. MKS制單位為m⁻¹，又常被稱為不透明度（opacity）。
4. 為了方便起見，以下輻射相關物理量中的下標 ${\displaystyle \nu }$  被省略了。

延伸閱讀

• Chandrasekhar, Subrahmanyan. Radiative Transfer. New York: Dover. 1960. ISBN 978-0-486-60590-6. 
• Lenoble, Jacqueline. Radiative Transfer in Scattering and Absorbing Atmospheres: Standard Computational Procedures. A. Deepak. 1986. ISBN 978-0937194058. 
• Grant William, Petty. A First Course in Atmospheric Radiation 2nd edition, illustrated. Madison: Sundog. 2006 [2004]. ISBN 9780972903318. 
• Mihalas, Dimitri; Weibel-Mihalas, Barbara. Foundations of Radiation Hydrodynamics. Oxford University Press. 1984. ISBN 0-486-40925-2. 
• Thomas, Gary. E.; Stamnes, Knut. Radiative Transfer in the Atmosphere and Ocean. Cambridge: Cambridge University Press. 1999. ISBN 0-521-40124-0 （英语）. 
• McLinden, Chris. . 1999-07-22. （原始内容存档于2022-01-13） （英语）. 

參考資料

1. Choudhuri, Arnab Rai. Astrophysics for Physicists (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24 [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7 （英语）. 
2. Dullemond, C.P. Chapter 3: Formal transfer equation (PDF). Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course). 2012-07-28 [2024-01-09]. 
3. . 天文学辞典. 日本天文学会. （原始内容存档于2019-06-01） （日语）. 
4. McLinden, Chris. The Equation of Radiative Transfer. 1999-07-22. （原始内容于2008-03-15） （英语）. 
5. Choudhuri 2010，第36頁.
6. Huang, S.-S. On the Eddington Approximation. Astrophysical Journal: 841. Bibcode:1968ApJ...152..841H   （英语）. 
7. Owocki, Stan. PHYS-633: Introduction to Stellar Astrophysics (PDF). The Bartol Research Institute. 2010-10-31 [2024-01-09]. 
8. Choudhuri 2010，第38頁.
9. . 天文学辞典. 日本天文学会. （原始内容存档于2019-03-13） （日语）. 
10. Rybicki, George B.; Lightman, Alan P. Radiative Process in Astrophysics (PDF). Wiley-VCH. 2004: 42 [1979] [2024-01-09]. ISBN 978-0-471-82759-7 （英语）. 
11. Eddington, A.S. The Internal Constitution of the Stars. Nature. 1920, 106: 14–20. doi:10.1038/106014a0 （英语）.