輸入-狀態穩定性

輸入-狀態穩定性（Input-to-state stability）簡稱ISS^[1][2]，是在有外部輸入時，非線性的控制理論中探討其穩定性的方式。簡單來說，控制系統具有輸入-狀態穩定性也就是指在沒有外在輸入時，系統會漸近穩定，而且在足夠長的時間後，系統軌跡會限制在和輸入大小有關的函數中。

輸入-狀態穩定性之所以重要，是因為此概念連接了輸入-輸出穩定性以及狀態空間法，這二個都是控制系統研究者常常使用的工具。輸入-狀態穩定性的標示方式是由Eduardo Sontag（英语：Eduardo Sontag）在1989年開始使用^[3]。

定義

考慮非時變常微分方程，其形式如下

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

(1)

其中${\displaystyle u:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ^{m}}$ 是勒贝格测度有本質確界的外部輸入，且 ${\displaystyle f}$ 是利普希茨連續函數。這可以確保系統(1)有唯一绝对连续的解。

若要定義ISS以及其他相關的性質，需要引入以下的比較函數（英语：comparison function）分類。令${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ （K類函數）為連續遞增函數${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} _{+}}$ ，且${\displaystyle \gamma (0)=0}$ 形成的集合，令${\displaystyle {\mathcal {K}}_{\infty }}$ 為無界函數${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ，再令${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ （KL類函數）為若${\displaystyle \beta (\cdot ,t)\in {\mathcal {K}}}$ 在所有的${\displaystyle t\geq 0}$ 都成立，而且針對所有的${\displaystyle r>0}$ ，${\displaystyle \beta (r,\cdot )}$ 連續，且嚴格遞減至0。

系統(1)稱為在原點全域漸近穩定（0-GAS），若對應的零輸入系統

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x,0),\ x(t)\in \mathbb {R} ^{n},}$

(WithoutInputs)

是全域李雅普诺夫稳定，也就是存在 ${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ 使得針對所有的初值 ${\displaystyle x_{0}}$ 以及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$ ，以下有關(WithoutInputs)解的估計都有效＞：

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t).}$

(GAS-Estimate)

系統(1)稱為輸入-狀態穩定性（ISS）若存在函數 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ 且${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ 使得針對所有初值${\displaystyle x_{0}}$ ，所有可行的輸入${\displaystyle u}$ 以及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$ ，以下的不等式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(2)

上述不等式中的函數${\displaystyle \gamma }$ 稱為增益（gain）。

很明顯的，ISS系統是0-GAS系統，也有有界輸入有界輸出穩定性（若令輸出等於狀態），不過0-GAS系統不一定是ISS系統。

也可以證明若在${\displaystyle t\to \infty }$ 時，${\displaystyle |u(t)|\to 0}$ ，則在${\displaystyle t\to \infty }$ 時，${\displaystyle |x(t)|\to 0}$ 。

輸入-狀態穩定性質的特點

為了要瞭解輸入-狀態穩定性，需要用其他的穩定性術語來重新說明。

系統(1)為全域穩定（GS），若存在 ${\displaystyle \gamma ,\sigma \in {\mathcal {K}}}$ ，使得對於${\displaystyle \forall u}$ 、${\displaystyle \forall t\geq 0}$ 及${\displaystyle \forall x_{0}}$ ，下式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \sigma (|x_{0}|)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(GS)

系統(1)滿足漸近增益（AG）特性，若存在${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ，使得對於${\displaystyle \forall x_{0}}$ , ${\displaystyle \forall u}$ ，下式都成立

${\displaystyle \limsup _{t\to \infty }|x(t)|\leq \gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(AG)

以下的描述都是等效的 ^[4]：

1. (1)有ISS（輸入-狀態穩定性）
2. (1)是GS（全域穩定），且有AG（漸近增益）特性
3. (1)是0-GAS（在原點全域漸近穩定），且有AG（漸近增益）特性

在論文中可以找到以上論述的證明，以及許多輸入-狀態穩定性的特性^[4][5]。

ISS-李亞普諾夫函數

ISS-李亞普諾夫函數是驗證輸入-狀態穩定性時的重要工具。

光滑函數${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} _{+}}$ 是系統(1)的ISS-李亞普諾夫函數，若${\displaystyle \exists \psi _{1},\psi _{2}\in {\mathcal {K}}_{\infty }}$ , ${\displaystyle \chi \in {\mathcal {K}}}$ ，以及正定函數 ${\displaystyle \alpha }$ ，使得下式成立：

${\displaystyle \psi _{1}(|x|)\leq V(x)\leq \psi _{2}(|x|),\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}}$ 

以及 ${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n},\;\forall u\in \mathbb {R} ^{m}}$ ，下式成立：

${\displaystyle |x|\geq \chi (|u|)\ \Rightarrow \ \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),}$ 

函數${\displaystyle \chi }$ 稱為李亞普諾夫增益（Lyapunov gain）。

若系統(1)沒有輸入（也就是${\displaystyle u\equiv 0}$ ），則最後一式可以簡化如下

${\displaystyle \nabla V\cdot f(x,u)\leq -\alpha (|x|),\ \forall x\neq 0,}$ 

因此${\displaystyle V}$ 也是（一般定義的）李亞普諾夫函數。

E. Sontag和Y. Wang得到的重要結論是系統(1)為ISS，若且唯若存在光滑ISS李亞普諾夫函數^[5]。

例子

考慮一系統

${\displaystyle {\dot {x}}=-x^{3}+ux^{2}.}$ 

定義候選的ISS-李亞普諾夫函數${\displaystyle V:\mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}}$ 如下 ${\displaystyle V(x)={\frac {1}{2}}x^{2},\quad \forall x\in \mathbb {R} .}$ 

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=\nabla V\cdot (-x^{3}+ux^{2})=-x^{4}+ux^{3}.}$ 

選擇李亞普諾夫增益${\displaystyle \chi }$ 為

${\displaystyle \chi (r):={\frac {1}{1-\epsilon }}r}$ .

可以得到在${\displaystyle x,u:\ |x|\geq \chi (|u|)}$ 的條件下，下式成立

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq -|x|^{4}+(1-\epsilon )|x|^{4}=-\epsilon |x|^{4}.}$ 

可得${\displaystyle V}$ 是該系統的ISS-李亞普諾夫函數，李亞普諾夫增益為${\displaystyle \chi }$ 。

其他相關概念

積分輸入-狀態穩定性（iISS）

系統(1)為積分輸入-狀態穩定性（integral input-to-state stable，iISS）若存在函數${\displaystyle \alpha ,\gamma \in {\mathcal {K}}}$ 及${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ ，使得針對所有初值${\displaystyle x_{0}}$ ，所有可行的輸入${\displaystyle u}$ 及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$ 下，以下不等式都會成立：

${\displaystyle \alpha (|x(t)|)\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}\gamma (|u(s)|)ds.}$

(3)

積分輸入-狀態穩定性（iISS）系統和ISS系統不同，若系統是iISS系統，在有界輸入下其軌跡仍可能會成長到無限大。例如，在所有${\displaystyle r\geq 0}$ ，令${\displaystyle \alpha (r)=\gamma (r)=r}$ ，且令${\displaystyle u\equiv c=const}$ ，則估計(3)會變成以下的形式

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\int _{0}^{t}cds=\beta (|x_{0}|,t)+ct,}$ 

隨著${\displaystyle t\to \infty }$ ，等號右側會趨近無限大 ${\displaystyle t\to \infty }$ 。

局部輸入-狀態穩定性（LISS）

局部輸入-狀態穩定性也是一種輸入-狀態穩定性的特性。系統(1)為局部輸入-狀態穩定性（locally ISS、LISS）若存在常數${\displaystyle \rho >0}$ 、函數 ${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ 及${\displaystyle \beta \in {\mathcal {K}}{\mathcal {L}}}$ 使得：針對所有${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}:\;|x_{0}|\leq \rho }$ ，所有可行的輸入${\displaystyle u:\|u\|_{\infty }\leq \rho }$ 及任意時間${\displaystyle t\geq 0}$ ，下式都成立

${\displaystyle |x(t)|\leq \beta (|x_{0}|,t)+\gamma (\|u\|_{\infty }).}$

(4)

可以觀察到0-GAS系統會有LISS系統的特性^[6]。

其他的穩定性

也有其他人提出和輸入-狀態穩定性有關的穩定性特性，例如增量輸入-狀態穩定性（incremental ISS）、輸入至輸出動態穩定性（input-to-state dynamical stability、ISDS）^[7]、輸入至輸出實務穩定性（input-to-state practical stability、ISpS）、輸入至輸出穩定性（input-to-output stability、IOS）^[8]等。

時滯系統的ISS

考慮非時變的时滞微分方程

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=f(x^{t},u(t)),\quad t>0.}$

(TDS)

其中${\displaystyle x^{t}\in C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})}$ 是系統(TDS)在時間${\displaystyle t}$ 的狀態，${\displaystyle x^{t}(\tau )=x(t+\tau ),\ \tau \in [-\theta ,0]}$ 及${\displaystyle f:C([-\theta ,0];\mathbb {R} ^{N})\times \mathbb {R} ^{m}}$ 需滿足特定假設，以確保系統(TDS)的解存在且唯一。

系統(TDS)為ISS，若且唯若存在函數${\displaystyle \beta \in {\mathcal {KL}}}$ 及${\displaystyle \gamma \in {\mathcal {K}}}$ ，使得針對所有${\displaystyle \xi \in C(\left[-\theta ,0\right],\mathbb {R} ^{N})}$ ，所有可行的輸入，在任意時間${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$ 下，下式都成立

${\displaystyle \left|x(t)\right|\leq \beta (\left\|\xi \right\|_{\left[-\theta ,0\right]},t)+\gamma (\left\|u\right\|_{\infty }).}$

(ISS-TDS)

在時滯系統的ISS理論中，提出了二個不同的李亞普諾夫型的充份條件：透過ISS Lyapunov-Razumikhin函數^[9]及ISS Lyapunov-Krasovskii泛函^[10]。有些論文有提到有關時滯系統的逆李亞普諾夫定理^[11]。

其他類型系統的輸入-狀態穩定性

以非時變常微分方程為基礎的輸入-狀態穩定性是已有相當發展的理論。也有研究者將此理論應用在其他的系統中，例如時變系統^[12]、混合系統^[13][14]。近來也有人提出，將輸入-狀態穩定性的一些概念擴展到無限維系統的想法^{[15][16][1][17]}。

參考資料

1. Iasson Karafyllis and Zhong-Ping Jiang. Stability and stabilization of nonlinear systems. Communications and Control Engineering Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 2011.
2. E. D. Sontag. Input to state stability: basic concepts and results. In Nonlinear and optimal control theory, volume 1932 of Lecture Notes in Math., pages 163–220, Berlin, 2008. Springer
3. Eduardo D. Sontag. Smooth stabilization implies coprime factorization. IEEE Trans. Automat. Control, 34(4):435–443, 1989.
4. Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability Archive-It的存檔，存档日期2011-04-01. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996.
5. Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. On characterizations of the input-to-state stability property （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Systems Control Lett., 24(5):351–359, 1995.
6. Lemma I.1, p.1285 in Eduardo D. Sontag and Yuan Wang. New characterizations of input-to-state stability. IEEE Trans. Automat. Control, 41(9):1283–1294, 1996
7. Lars Grüne. Input-to-state dynamical stability and its Lyapunov function characterization. IEEE Trans. Automat. Control, 47(9):1499–1504, 2002.
8. Z.-P. Jiang, A. R. Teel, and L. Praly. Small-gain theorem for ISS systems and applications. Math. Control Signals Systems, 7(2):95–120, 1994.
9. Andrew R. Teel. Connections between Razumikhin-type theorems and the ISS nonlinear small gain theorem. IEEE Trans. Automat. Control, 43(7):960–964, 1998.
10. P. Pepe and Z.-P. Jiang. A Lyapunov-Krasovskii methodology for ISS and iISS of time-delay systems. Systems Control Lett., 55(12):1006–1014, 2006.
11. Iasson Karafyllis. Lyapunov theorems for systems described by retarded functional differential equations. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 64(3):590 – 617,2006.
12. Y. Lin, Y. Wang, and D. Cheng. On nonuniform and semi-uniform input-to-state stability for time-varying systems. In IFAC World Congress, Prague, 2005.
13. C. Cai and A.R. Teel. Characterizations of input-to-state stability for hybrid systems. Systems & Control Letters, 58(1):47–53, 2009.
14. D. Nesic and A.R. Teel. A Lyapunov-based small-gain theorem for hybrid ISS systems. In Proceedings of the 47th IEEE Conference on Decision and Control, Cancun, Mexico, Dec. 9-11, 2008, pages 3380–3385, 2008.
15. Bayu Jayawardhana, Hartmut Logemann, and Eugene P. Ryan. Infinite-dimensional feedback systems: the circle criterion and input-to-state stability （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Commun. Inf. Syst., 8(4):413–414, 2008.
16. Dashkovskiy, S. and Mironchenko, A. Input-to-state stability of infinite-dimensional control systems.^{[永久失效連結]} In Mathematics of Control, Signals, and Systems (MCSS),2013
17. F. Mazenc and C. Prieur. Strict Lyapunov functions for semilinear parabolic partial differential equations. Mathematical Control and Related Fields, 1:231–250, June 2011.