費雪法 (統計學)

費雪法（英語：Fisher's method），或稱費雪合併機率檢驗（英語：Fisher's combined probability test）是統計學中用於合併多個p值的方法，^[1][2]由羅納德·愛爾默·費雪所創，常應用於元分析。其基本形式是結合源於同一個虛無假設（H₀）之下多個獨立性檢驗的結果。

以費雪法合併兩個p值（P₁與P₂）。例如，當P₁與P₂皆為0.1時，合併之p值約為0.05。顏色最深的區域表示整體p值小於0.05。

應用

費雪法用於結合各個檢驗的極端值機率（即p值）成一個卡方統計量：

${\displaystyle X_{2k}^{2}\sim -2\sum _{i=1}^{k}\ln(p_{i})}$ ，

其中p_i為第i個檢驗之p值。當p_i較小則卡方統計量X²較大而拒絕整體虛無假說。

若所有的虛無假說皆為真，且p_i（或各統計檢驗量）皆相互獨立，則X²服從自由度為2k的卡方分布，其中k表示所有參與的假說檢定個數。按此可以取得聯合檢驗之p值，即對多個p值進行合併。

此卡方統計量的分布服從卡方分布的原因是：對於每一個統計檢驗i，其p值（p_i）服從界於0至1的均勻分布。均勻分布取自然對數的相反數又服從指數分布。指數分布乘2又服從自由度為2的卡方分布。最終，k項獨立的卡方統計量（每項自由度為2）之總和服從自由度為2k的卡方分布。

獨立性前提的限制

當各檢驗不獨立時，X²偏大、整體p值偏小使推論過份偏好對立假說。因此，在不獨立的統計檢驗量間使用費雪法時，若整體p值較大較無所謂；但若整體p值很小則可能發生型一錯誤。

獨立性前提的擴展

主条目：費雪法的擴展（英语：Extensions of Fisher's method）

在統計檢驗不相互獨立時，X²的虛無分布（英语：Null distribution）並不單純。常見的策略是採用縮放過的卡方隨機變數近似虛無分布。若已知p值間的共變異數，亦存在其它近似方法。

以布朗法（英语：Extensions of Fisher's method）為例，^[3]該方法可用於結合二個相依p值，當其統計檢定量為共變異數矩陣已知的多元常態分布。此外，科斯特法（英语：Extensions of Fisher's method）擴大了布朗法的條件：共變異數矩陣由已知擴展至未知但具純量乘法常數即可。^[4]

在相依結構未知時，調和平均p值（英语：Harmonic mean p-value）可以代替費雪法，但仍不可假設檢驗相互獨立。^[5][6]

結果解讀

費雪法通常用於一系列相互獨立的統計檢驗，例如是具有相同虛無假說的各別研究。這與元分析的虛無假說經常是各別的虛無假說皆為真的情況相符。因此，費雪法結果若支持對立假說，則可解讀為至少存在一個對立假說為真。

在某些情況下，考慮各研究的「異質性」是有意義的，特別是某些研究支持虛無假說但某些支持對立假說，或是不同研究具有不同的對立假說。不同的對立假說形成的異質性可能是源於效果量在不同研究間不均。例如，考慮一系列針對葡萄糖攝取量對罹患第2型糖尿病的風險之研究，由於各研究間的對象存在遺傳或環境上的差異，特定葡萄糖攝取量所對應的罹患風險在各研究間亦可能不同。

在各別對立假說是全真或全偽的情況下，例如檢驗某種物理定律，單獨研究或實驗的結果若不一致則是偶然造成的，例如存在檢定力差異。

在元分析中若採用雙尾檢驗（英语：One- and two-tailed tests），即使部分各別研究指出存在強烈但方向不等的效果，仍可能拒絕整體虛無假設。在這種情況下，雖然可以解讀為至少存在一個研究中的虛無假說為偽，但這並不意味著應支持所有研究的對立假說。因此，雙尾元分析對對立假說中的異質性特別敏感。採用單尾檢驗（英语：One- and two-tailed tests）的元分析可以檢測效果量的異質性，但側重於單一且預先指定的影響方向。

與斯托夫Z值法的關係

 

斯托夫Z值法與費雪法的關係以z與−log(p)的關係表示。

斯托夫Z值法（由社會學家山繆·安德魯·斯托福（英语：Samuel A. Stouffer）所創）與費雪法的作用相似，但前者可納入不同研究間具有不同的權重。^[7][8][9]

令Z_i  =  Φ ^− 1(1−p_i)，其中Φ為標準常態分布的累積分布函數，則

${\displaystyle Z\sim {\frac {\sum _{i=1}^{k}w_{i}Z_{i}}{\sqrt {\sum _{i=1}^{k}w_{i}^{2}}}}}$ 

稱為元分析的整體Z值，其中w為各研究的權重。

由於費雪法基於「平均p值」而斯托夫Z值法基於「平均z值」，二者的關係遵循z與−log(p) = −log(1−Φ(z))的關係。在常態分布之下，二者並非線性關係，但z值經常存在的範圍（1至5）之內的關係較線性。因此，二種方法的檢定力通常很接近。

參考資料

1. Fisher, R.A. Statistical Methods for Research Workers . Oliver and Boyd (Edinburgh). 1925. ISBN 0-05-002170-2.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
2. Fisher, R.A.; Fisher, R. A. Questions and answers #14. The American Statistician. 1948, 2 (5): 30–31. JSTOR 2681650. doi:10.2307/2681650. 
3. Brown, M. A method for combining non-independent, one-sided tests of significance. Biometrics. 1975, 31 (4): 987–992. JSTOR 2529826. doi:10.2307/2529826. 
4. Kost, J.; McDermott, M. Combining dependent P-values. Statistics & Probability Letters. 2002, 60 (2): 183–190. doi:10.1016/S0167-7152(02)00310-3. 
5. Good, I J. Significance tests in parallel and in series. Journal of the American Statistical Association. 1958, 53 (284): 799–813. JSTOR 2281953. doi:10.1080/01621459.1958.10501480. 
6. Wilson, D J. The harmonic mean p-value for combining dependent tests. Proceedings of the National Academy of Sciences USA. 2019, 116 (4): 1195–1200. Bibcode:2019PNAS..116.1195W. PMC 6347718  . PMID 30610179. doi:10.1073/pnas.1814092116  . 
7. Stouffer, S.A.; Suchman, E.A.; DeVinney, L.C.; Star, S.A.; Williams, R.M. Jr. The American Soldier, Vol.1: Adjustment during Army Life. Princeton University Press, Princeton. 1949. 
8. Mosteller, F.; Bush, R.R. Selected quantitative techniques. Lindzey, G. (编). Handbook of Social Psychology,Vol1. Addison_Wesley, Cambridge, Mass. 1954: 289–334. 
9. Liptak, T. On the combination of independent tests. Magyar Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. 1958, 3: 171–197. 

相關條目

• 費雪法的擴展（英语：Extensions of Fisher's method）

外部連結

• metap （页面存档备份，存于互联网档案馆） R套件.