西爾維斯特方程

西爾維斯特方程（Sylvester equation）是控制理论中的矩阵方程，形式如下^[1]：

${\displaystyle AX+XB=C.}$

其中A、B及C是已知的矩陣，問題是要找出符合條件的X。其中所有矩陣的係數都是复数。為了要使方程成立，矩陣的行和列需要滿足一定條件，A和B都要是方陣，大小分別是n和m，而X和C要是n行m列的矩陣，n和m也可以相等，四個矩陣都是大小相同的方陣。

西爾維斯特方程有唯一解X的充份必要條件是A和-B沒有共同的特徵值。

AX+XB=C也可以視為是（可能無窮維中）巴拿赫空间中有界算子的方程。此情形下，唯一解X的充份必要條件幾乎相同：唯一解X的充份必要條件是A和-B的谱不互交^[2]。

解的存在及唯一

利用克罗内克积以及向量化量子（英语：Vectorization (mathematics)）${\displaystyle \operatorname {vec} }$ ，可以改寫西爾維斯特方程為

${\displaystyle (I_{m}\otimes A+B^{T}\otimes I_{n})\operatorname {vec} X=\operatorname {vec} C,}$ 

其中${\displaystyle I_{k}}$ 為${\displaystyle k\times k}$ 單位矩陣。在此形式下，可以將問題改為${\displaystyle mn\times mn}$ 維的線性系統^[3]。

命题

假定複數的${\displaystyle n\times n}$ 矩陣${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ ，西爾維斯特方程針對任意${\displaystyle C}$ 有唯一解${\displaystyle X}$ ，若且唯 若${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 沒有共同的特徵值。

證明

考慮線性轉換${\displaystyle S:M_{n}\rightarrow M_{n}}$ ，${\displaystyle X\mapsto AX+XB}$ .

(i)假設${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 沒有共同的特徵值，則其特徵方程式 ${\displaystyle f(z)}$ 和${\displaystyle g(z)}$ 的最大公因式為${\displaystyle 1}$ ，因此存在複數多項式${\displaystyle p(z)}$ 和${\displaystyle q(z)}$ ，使得${\displaystyle p(z)f(z)+q(z)g(z)=1}$ 。依照Cayley–Hamilton定理，${\displaystyle f(A)=0=g(-B)}$ ；因此${\displaystyle g(A)q(A)=I}$ 。令${\displaystyle X}$ 為${\displaystyle S(X)=0}$ 的解，則${\displaystyle AX=-XB}$ ，重複上述作法，可得${\displaystyle X=q(A)g(A)X=q(A)Xg(-B)=0}$ 。因此依照秩－零化度定理，${\displaystyle S}$ 是可逆的，因此針對所有的${\displaystyle C}$ 都存在唯一的解${\displaystyle X}$ 。

(ii) 相對的，若假設${\displaystyle s}$ 是${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle -B}$ 的共同特徵值，則${\displaystyle {\bar {s}}}$ 也是${\displaystyle A^{H}}$ 的特徵值。存在非零向量 ${\displaystyle v}$ 和${\displaystyle w}$ 使得${\displaystyle A^{H}w={\bar {s}}w}$ 以及${\displaystyle Bv=-sv}$ 。選擇${\displaystyle C}$ 使得${\displaystyle Cv=w}$ ，則${\displaystyle AX+XB=C}$ 沒有解${\displaystyle X}$ ，考虑 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Cv,w\rangle =\langle w,w\rangle }$ ，等號的右邊為正值；而左側因為伴随变换的性质為零,即 ${\displaystyle \langle (AX+XB)v,w\rangle =\langle Xv,A^{H}w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =s\langle Xv,w\rangle -s\langle Xv,w\rangle =0}$ 。

Roth消去法則

假設二個大小分別為n和m的方陣A和B，以及大小為n乘m的矩陣C，則可以確認以下二個大小為n+m的方陣${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}}$ 和${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}}$ 是否彼此相似。這二個矩陣相似的條件是存在一矩陣X使得AX-XB=C，換句話說，X為西爾維斯特方程的解，這稱為Roth消去法則（Roth's removal rule）^[4]。

可以用以下方式檢查，若AX-XB=C，則

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{n}&X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&C\\0&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{n}&-X\\0&I_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}.}$ 

Roth消去法則無法延伸到巴拿赫空間中的無窮維有界算子中^[5]。

數值解

西爾維斯特方程數值解的經典演算法是Bartels–Stewart演算法，利用QR演算法（英语：QR algorithm）將矩陣${\displaystyle A}$ 和矩陣${\displaystyle B}$ 轉換為舒尔形式，再用逆向取代法求解三角矩阵。此演算法若用LAPACK計算，或是GNU Octave的lyap函數計算^[6]，計算複雜度是${\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{3})}$ 個數學運算^{[來源請求]}。也可以參考其中的sylvester函數^[7][8]。在一些特定的影像處理應用中，西爾維斯特方程會有解析解^[9]。

相關條目

• 李亞普諾夫方程
• 代數Riccati方程

腳註

1. 不過也常寫成等效的AX-XB=C.
2. Bhatia and Rosenthal, 1997
3. 不過若是要算其數值解，不建議寫成此形式，因為求解的計算量很高，而且可能會是病態方程
4. Gerrish, F; Ward, A.G.B. Sylvester's matrix equation and Roth's removal rule. The Mathematical Gazette. Nov 1998, 82 (495): 423–430. doi:10.2307/3619888. 
5. Bhatia and Rosenthal, p.3
6. 存档副本. [2017-12-27]. （原始内容于2018-11-14）. 
7. 存档副本. [2017-12-27]. （原始内容于2018-02-12）. 
8. The syl command is deprecated since GNU Octave Version 4.0
9. Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 

參考資料

• Sylvester, J. Sur l'equations en matrices px = xq. C. R. Acad. Sci. Paris. 1884, 99 (2): 67–71, 115–116. 
• Bartels, R. H.; Stewart, G. W. Solution of the matrix equation AX +XB = C. Comm. ACM. 1972, 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582. 
• Bhatia, R.; Rosenthal, P. How and why to solve the operator equation AX -XB = Y ?. Bull. London Math. Soc. 1997, 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828. 
• Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum. Linear Algebra Appl. 2011, 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034. 
• Wei, Q.; Dobigeon, N.; Tourneret, J.-Y. Fast Fusion of Multi-Band Images Based on Solving a Sylvester Equation. IEEE Transactions on Image Processing. 2015, 24 (11): 4109–4121. doi:10.1109/TIP.2015.2458572. 
• Birkhoff and MacLane. A survey of Modern Algebra. Macmillan. 1965: 213, 299.