西爾維斯特數列

西爾維斯特數列的定義為${\displaystyle s_{n}=1+\prod _{i=0}^{n-1}s_{i}}$。當${\displaystyle n=0}$，由於空積（一個空集內所有元素的積）是${\displaystyle 1}$，所以${\displaystyle s_{0}=2}$，之後是${\displaystyle 3,7,43,1807,3263443,10650056950807,113423713055421844361000443...}$（OEIS:A000058）

這亦可以用遞歸定義：${\displaystyle s_{i}=s_{i-1}(s_{i-1}-1)+1,s_{0}=2}$。

以數學歸納法可證明${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}{\frac {1}{s_{i}}}={\frac {s_{j}-2}{s_{j}-1}}}$。

「求${\displaystyle k}$個埃及分數，使它們之和最接近${\displaystyle 1}$而又小於${\displaystyle 1}$。」答案就是這數列中首${\displaystyle k}$個數的倒數之和。[1]因此，西爾維斯特數列又可以貪婪算法來定義：每步選取的一個分母，使得對應的埃及分數再加上之前的和最接近1而又少於1。

西爾維斯特數列可以表示為${\displaystyle s_{n}=\left\lfloor E^{2^{n+1}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }$，其中E約為1.264。這和費馬數很相似。

這數列以詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特命名。

和為有理數且快速增長的唯一性

若有數列 ${\displaystyle a_{n}\geq a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$  且 ${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=0}^{k}{\frac {1}{a_{i}}}\in \mathbb {Q} }$ ，則必存在${\displaystyle N}$ 使得對於${\displaystyle i>N}$ ，${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}^{2}-a_{n-1}+1}$ 。^[1]

保羅·艾狄胥猜想上面的不等式可以改為更弱的條件${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}=1}$ 。

質數

顯然兩個相異的西爾維斯特數必定互質。在首三百萬個質數只有1166個是西爾維斯特數列的因數。^[2]現時所知的西爾維斯特數中，都是無平方數因數的數，但未有證明所有西爾維斯特數都是。西爾維斯特數的質因數在質數集的密度為0。[2]

參考

編譯自en:Sylvester's sequence

1. Badea, Catalin, 1993. "A theorem on irrationality of infinite series and applications". Acta Arithmetica 63: 313–323.
2. Vardi, Ilan (1991). Computational Recreations in Mathematica. Addison-Wesley, 82–89. ISBN 0-201-52989-0.