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蒙地卡羅方法

十二月 05, 2023

蒙特卡罗方法（英語：Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

20世纪40年代，在科學家冯·诺伊曼、斯塔尼斯拉夫·烏拉姆和尼古拉斯·梅特罗波利斯於洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时，发明了蒙特卡罗方法。因为烏拉姆的叔叔经常在摩納哥的蒙特卡洛赌场输钱得名，而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法。

与它对应的是确定性算法。

蒙特卡罗方法在金融工程学、宏观经济学、生物医学、计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）、机器学习等领域应用广泛。[1]

基本概念 编辑

通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类：一类是所求解的问题本身具有内在的随机性，借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程。例如在核物理研究中，分析中子在反应堆中的传输过程。中子与原子核作用受到量子力学规律的制约，人们只能知道它们相互作用发生的概率，却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向。科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置、速度和方向，这样模拟大量中子的行为后，经过统计就能获得中子传输的范围，作为反应堆设计的依据。

另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数，比如随机事件出现的概率，或者随机变量的期望值。通过随机抽样的方法，以随机事件出现的频率估计其概率，或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征，并将其作为问题的解。这种方法多用于求解复杂的多维积分问题。

假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如，积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡罗方法基于这样的想法：假設你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点，然后统计出图形内的点数，透過它們占總點數的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积。

工作过程 编辑

 
使用蒙特卡罗方法估算π值. 放置30000个随机点后,π的估算值与真实值相差0.07%.

在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作：

  1. 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时，需要产生各种概率分布的随机变量。
  2. 用统计方法把模型的数字特征估计出来，从而得到实际问题的数值解。

分子模拟计算的步骤 编辑

使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的：

  1. 使用随机数生成器产生一个随机的分子构型。
  2. 对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变，产生一个新的分子构型。
  3. 计算新的分子构型的能量。
  4. 比较新的分子构型与改变前的分子构型的能量变化，判断是否接受该构型。
    • 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量，则接受新的构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
    • 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量，则計算玻尔兹曼因子，并产生一个随机数。
      • 若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子，则放弃这个构型，重新计算。
      • 若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子，则接受这个构型，使用这个构型重复再做下一次迭代。
  5. 如此进行迭代计算，直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束。

在数学中的应用 编辑

通常蒙特卡罗方法透過构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。下面是蒙特卡罗方法的两个简单应用：

积分 编辑

非权重蒙特卡罗积分，也称确定性抽样，是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样，然后对抽样点的函数值求平均，从而可以得到函数积分的近似值。此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理。当抽样点数为m时，使用此种方法所得近似解的统计误差只与m有关（与 正相关），不随积分维数的改变而改变。因此当积分维度较高时，蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优。

圆周率 编辑

蒙特卡罗方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看以这两个实数为横纵坐标的点是否在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圓面積和正方形面積之比為PI:4，PI為圓周率），当随机点取得越多时，其结果越接近于圆周率（然而準確度仍有爭議：即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合[來源請求]）。用蒙特卡罗方法近似计算圆周率的先天不足是：第一，计算机产生的随机数是受到存储格式的限制的，是离散的，并不能产生连续的任意实数；上述做法将平面分割成一个个网格，在空间也不是连续的，由此计算出来的面积当然与圆或多或少有差距。

在机器学习中的应用 编辑

蒙特卡洛算法也常用于机器学习，特别是强化学习的算法中。一般情况下，针对得到的样本数据集建立相对模糊的模型，透過蒙特卡洛方法对于模型中的参数进行选取，使之于原始数据的残差尽可能的小。从而达到建立模型拟合样本的目的。

参见 编辑

注释 编辑

  1. ^ Kroese, D. P.; Brereton, T.; Taimre, T.; Botev, Z. I. Why the Monte Carlo method is so important today. WIREs Comput Stat. 2014, 6: 386–392. doi:10.1002/wics.1314. 

参考 编辑

  • Anderson, Herbert L. (PDF). Los Alamos Science. 1986, 14: 96–108 [2018-04-29]. （原始内容 (PDF)存档于2017-07-02）. 
  • Benov, Dobriyan M. . Monte Carlo Methods and Applications. 2016, 22 (1): 73–79 [2018-04-29]. doi:10.1515/mcma-2016-0102. （原始内容存档于2019-06-03）. 
  • Baeurle, Stephan A. Multiscale modeling of polymer materials using field-theoretic methodologies: A survey about recent developments. Journal of Mathematical Chemistry. 2009, 46 (2): 363–426. doi:10.1007/s10910-008-9467-3. 
  • Berg, Bernd A. Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis (With Web-Based Fortran Code). Hackensack, NJ: World Scientific. 2004. ISBN 981-238-935-0. 
  • Binder, Kurt. The Monte Carlo Method in Condensed Matter Physics. New York: Springer. 1995. ISBN 0-387-54369-4. 
  • Caflisch, R. E. Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods. Acta Numerica 7. Cambridge University Press. 1998: 1–49. 
  • Davenport, J. H. Primality testing revisited. Proceeding ISSAC '92 Papers from the international symposium on Symbolic and algebraic computation. 1992: 123 129. ISBN 0-89791-489-9. doi:10.1145/143242.143290. 
  • Doucet, Arnaud; Freitas, Nando de; Gordon, Neil. Sequential Monte Carlo methods in practice. New York: Springer. 2001. ISBN 0-387-95146-6. 
  • Eckhardt, Roger. (PDF). Los Alamos Science, Special Issue. 1987, (15): 131–137 [2018-04-29]. （原始内容 (PDF)存档于2014-09-09）. 
  • Fishman, G. S. Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications. New York: Springer. 1995. ISBN 0-387-94527-X. 
  • C. Forastero and L. Zamora and D. Guirado and A. Lallena. A Monte Carlo tool to simulate breast cancer screening programmes. Phys. In Med. And Biol. 2010, 55 (17): 5213–5229. Bibcode:2010PMB....55.5213F. doi:10.1088/0031-9155/55/17/021. 
  • Golden, Leslie M. The Effect of Surface Roughness on the Transmission of Microwave Radiation Through a Planetary Surface. 伊卡洛斯 (期刊). 1979, 38 (3): 451–455. Bibcode:1979Icar...38..451G. doi:10.1016/0019-1035(79)90199-4. 
  • Gould, Harvey; Tobochnik, Jan. An Introduction to Computer Simulation Methods, Part 2, Applications to Physical Systems. Reading: Addison-Wesley. 1988. ISBN 0-201-16504-X. 
  • Grinstead, Charles; Snell, J. Laurie. Introduction to Probability. 美國數學學會. 1997: 10–11. 
  • Hammersley, J. M.; Handscomb, D. C. Monte Carlo Methods. London: Methuen. 1975. ISBN 0-416-52340-4. 
  • Hartmann, A.K. . World Scientific. 2009 [2018-04-29]. ISBN 978-981-283-415-7. （原始内容存档于2009-02-11）. 
  • Hubbard, Douglas. How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business. John Wiley & Sons. 2007: 46. 
  • Hubbard, Douglas. The Failure of Risk Management: Why It's Broken and How to Fix It. John Wiley & Sons. 2009. 
  • Kahneman, D.; Tversky, A. Judgement under Uncertainty: Heuristics and Biases. Cambridge University Press. 1982. 
  • Kalos, Malvin H.; Whitlock, Paula A. Monte Carlo Methods. Wiley-VCH. 2008. ISBN 978-3-527-40760-6. 
  • Kroese, D. P.; Taimre, T.; Botev, Z.I. Handbook of Monte Carlo Methods. New York: John Wiley & Sons. 2011: 772. ISBN 0-470-17793-4. 
  • MacGillivray, H. T.; Dodd, R. J. Monte-Carlo simulations of galaxy systems (PDF). Astrophysics and Space Science (施普林格科学+商业媒体). 1982, 86 (2). [永久失效連結]
  • MacKeown, P. Kevin. Stochastic Simulation in Physics. New York: Springer. 1997. ISBN 981-3083-26-3. 
  • Metropolis, N. The beginning of the Monte Carlo method (PDF). Los Alamos Science. 1987, (1987 Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam): 125–130. 
  • Metropolis, Nicholas; Rosenbluth, Arianna W.; Rosenbluth, Marshall N.; Teller, Augusta H.; Teller, Edward. Equation of State Calculations by Fast Computing Machines. Journal of Chemical Physics. 1953, 21 (6): 1087. Bibcode:1953JChPh..21.1087M. doi:10.1063/1.1699114. 
  • Metropolis, N.; Ulam, S. The Monte Carlo Method. Journal of the American Statistical Association (American Statistical Association). 1949, 44 (247): 335–341. JSTOR 2280232. PMID 18139350. doi:10.2307/2280232. 
  • M. Milik and J. Skolnick. Insertion of peptide chains into lipid membranes: an off-lattice Monte Carlo dynamics model. Proteins. Jan 1993, 15 (1): 10–25. PMID 8451235. doi:10.1002/prot.340150104. 
  • Mosegaard, Klaus; Tarantola, Albert. (PDF). J. Geophys. Res. 1995, 100 (B7): 12431–12447 [2018-04-29]. Bibcode:1995JGR...10012431M. doi:10.1029/94JB03097. （原始内容 (PDF)存档于2021-03-10）. 
  • P. Ojeda and M. Garcia and A. Londono and N.Y. Chen. Monte Carlo Simulations of Proteins in Cages: Influence of Confinement on the Stability of Intermediate States. Biophys. J. (Biophysical Society). Feb 2009, 96 (3): 1076–1082. Bibcode:2009BpJ....96.1076O. doi:10.1529/biophysj.107.125369. 
  • Int Panis, L; De Nocker, L; De Vlieger, I; Torfs, R. Trends and uncertainty in air pollution impacts and external costs of Belgian passenger car traffic International. Journal of Vehicle Design. 2001, 27 (1–4): 183–194. doi:10.1504/IJVD.2001.001963. 
  • Int Panis, L; Rabl, A; De Nocker, L; Torfs, R. P. Sturm , 编. Diesel or Petrol ? An environmental comparison hampered by uncertainty. Mitteilungen Institut für Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik (Technische Universität Graz Austria). 2002,. Heft 81 Vol 1: 48–54. 
  • Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Fortran Numerical Recipes 1 Second. 劍橋大學出版社. 1996 [1986]. ISBN 0-521-43064-X. 
  • Ripley, B. D. Stochastic Simulation. 約翰威立. 1987. 
  • Robert, C. P.; Casella, G. Monte Carlo Statistical Methods 2nd. New York: Springer. 2004. ISBN 0-387-21239-6. 
  • Rubinstein, R. Y.; Kroese, D. P. Simulation and the Monte Carlo Method 2nd. New York: John Wiley & Sons. 2007. ISBN 978-0-470-17793-8. 
  • Savvides, Savvakis C. Risk Analysis in Investment Appraisal. Project Appraisal Journal. 1994, 9 (1). doi:10.2139/ssrn.265905. 
  • Sawilowsky, Shlomo S.; Fahoome, Gail C. Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran. Rochester Hills, MI: JMASM. 2003. ISBN 0-9740236-0-4. 
  • Sawilowsky, Shlomo S. You think you've got trivials? (PDF). Journal of Modern Applied Statistical Methods. 2003, 2 (1): 218–225. [永久失效連結]
  • Silver, David; Veness, Joel. (PDF). Lafferty, J.; Williams, C. K. I.; Shawe-Taylor, J.; Zemel, R. S.; Culotta, A. (编). Advances in Neural Information Processing Systems 23. Neural Information Processing Systems Foundation. 2010 [2018-04-29]. （原始内容 (PDF)存档于2012-05-25）. 
  • Szirmay-Kalos, László. Monte Carlo Methods in Global Illumination - Photo-realistic Rendering with Randomization. VDM Verlag Dr. Mueller e.K. 2008. ISBN 978-3-8364-7919-6. 
  • Tarantola, Albert. . Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2005 [2018-04-29]. ISBN 0-89871-572-5. （原始内容存档于2021-02-25）. 
  • Vose, David. Risk Analysis, A Quantitative Guide Third. John Wiley & Sons. 2008. 
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十二月 05, 2023
蒙地卡羅方法, 蒙特卡罗方法, 英語, monte, carlo, method, 也称统计模拟方法, 是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明, 而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法, 是指使用随机数, 或更常见的伪随机数, 来解决很多计算问题的方法, 20世纪40年代, 在科學家冯, 诺伊曼, 斯塔尼斯拉夫, 烏拉姆和尼古拉斯, 梅特罗波利斯於洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时, 发明了蒙特卡罗方法, 因为烏拉姆的叔叔经常在摩納哥的蒙特卡洛赌场输钱得名, 而蒙特卡罗方法正是以概率为. 蒙特卡罗方法 英語 Monte Carlo method 也称统计模拟方法 是1940年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明 而提出的一种以概率统计理论为指导的数值计算方法 是指使用随机数 或更常见的伪随机数 来解决很多计算问题的方法 20世纪40年代 在科學家冯 诺伊曼 斯塔尼斯拉夫 烏拉姆和尼古拉斯 梅特罗波利斯於洛斯阿拉莫斯国家实验室为核武器计划工作时 发明了蒙特卡罗方法 因为烏拉姆的叔叔经常在摩納哥的蒙特卡洛赌场输钱得名 而蒙特卡罗方法正是以概率为基础的方法 与它对应的是确定性算法 蒙特卡罗方法在金融工程学 宏观经济学 生物医学 计算物理学 如粒子输运计算 量子热力学计算 空气动力学计算 机器学习等领域应用广泛 1 目录 1 基本概念 2 工作过程 3 分子模拟计算的步骤 4 在数学中的应用 4 1 积分 4 2 圆周率 5 在机器学习中的应用 6 参见 7 注释 8 参考基本概念 编辑通常蒙特卡罗方法可以粗略地分成两类 一类是所求解的问题本身具有内在的随机性 借助计算机的运算能力可以直接模拟这种随机的过程 例如在核物理研究中 分析中子在反应堆中的传输过程 中子与原子核作用受到量子力学规律的制约 人们只能知道它们相互作用发生的概率 却无法准确获得中子与原子核作用时的位置以及裂变产生的新中子的行进速率和方向 科学家依据其概率进行随机抽样得到裂变位置 速度和方向 这样模拟大量中子的行为后 经过统计就能获得中子传输的范围 作为反应堆设计的依据 另一种类型是所求解问题可以转化为某种随机分布的特征数 比如随机事件出现的概率 或者随机变量的期望值 通过随机抽样的方法 以随机事件出现的频率估计其概率 或者以抽样的数字特征估算随机变量的数字特征 并将其作为问题的解 这种方法多用于求解复杂的多维积分问题 假设我们要计算一个不规则图形的面积 那么图形的不规则程度和分析性计算 比如 积分 的复杂程度是成正比的 蒙特卡罗方法基于这样的想法 假設你有一袋豆子 把豆子均匀地朝这个图形上撒 然后数这个图形之中有多少颗豆子 这个豆子的数目就是图形的面积 当你的豆子越小 撒的越多的时候 结果就越精确 借助计算机程序可以生成大量均匀分布坐标点 然后统计出图形内的点数 透過它們占總點數的比例和坐标点生成范围的面积就可以求出图形面积 工作过程 编辑 nbsp 使用蒙特卡罗方法估算p值 放置30000个随机点后 p的估算值与真实值相差0 07 在解决实际问题的时候应用蒙特卡罗方法主要有两部分工作 用蒙特卡罗方法模拟某一过程时 需要产生各种概率分布的随机变量 用统计方法把模型的数字特征估计出来 从而得到实际问题的数值解 分子模拟计算的步骤 编辑使用蒙特卡罗方法进行分子模拟计算是按照以下步骤进行的 使用随机数生成器产生一个随机的分子构型 对此分子构型的其中粒子坐标做无规则的改变 产生一个新的分子构型 计算新的分子构型的能量 比较新的分子构型与改变前的分子构型的能量变化 判断是否接受该构型 若新的分子构型能量低于原分子构型的能量 则接受新的构型 使用这个构型重复再做下一次迭代 若新的分子构型能量高于原分子构型的能量 则計算玻尔兹曼因子 并产生一个随机数 若这个随机数大于所计算出的玻尔兹曼因子 则放弃这个构型 重新计算 若这个随机数小于所计算出的玻尔兹曼因子 则接受这个构型 使用这个构型重复再做下一次迭代 如此进行迭代计算 直至最后搜索出低于所给能量条件的分子构型结束 在数学中的应用 编辑通常蒙特卡罗方法透過构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题 对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题 蒙特卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法 一般蒙特卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分 下面是蒙特卡罗方法的两个简单应用 积分 编辑 非权重蒙特卡罗积分 也称确定性抽样 是对被积函数变量区间进行随机均匀抽样 然后对抽样点的函数值求平均 从而可以得到函数积分的近似值 此种方法的正确性是基于概率论的中心极限定理 当抽样点数为m时 使用此种方法所得近似解的统计误差只与m有关 与1 m displaystyle begin smallmatrix frac 1 sqrt m end smallmatrix nbsp 正相关 不随积分维数的改变而改变 因此当积分维度较高时 蒙特卡罗方法相对于其他数值解法更优 圆周率 编辑 蒙特卡罗方法可用于近似计算圆周率 让计算机每次随机生成两个0到1之间的数 看以这两个实数为横纵坐标的点是否在单位圆内 生成一系列随机点 统计单位圆内的点数与总点数 圓面積和正方形面積之比為PI 4 PI為圓周率 当随机点取得越多时 其结果越接近于圆周率 然而準確度仍有爭議 即使取10的9次方个随机点时 其结果也仅在前4位与圆周率吻合 來源請求 用蒙特卡罗方法近似计算圆周率的先天不足是 第一 计算机产生的随机数是受到存储格式的限制的 是离散的 并不能产生连续的任意实数 上述做法将平面分割成一个个网格 在空间也不是连续的 由此计算出来的面积当然与圆或多或少有差距 在机器学习中的应用 编辑蒙特卡洛算法也常用于机器学习 特别是强化学习的算法中 一般情况下 针对得到的样本数据集建立相对模糊的模型 透過蒙特卡洛方法对于模型中的参数进行选取 使之于原始数据的残差尽可能的小 从而达到建立模型拟合样本的目的 参见 编辑 nbsp 计算机科学主题 nbsp 计算机程序设计主题 遗传算法 粒子濾波器 拟蒙特卡罗方法注释 编辑 Kroese D P Brereton T Taimre T Botev Z I Why the Monte Carlo method is so important today WIREs Comput Stat 2014 6 386 392 doi 10 1002 wics 1314 参考 编辑Anderson Herbert L Metropolis Monte Carlo and the MANIAC PDF Los Alamos Science 1986 14 96 108 2018 04 29 原始内容 PDF 存档于2017 07 02 Benov Dobriyan M The Manhattan Project the first electronic computer and the Monte Carlo method Monte Carlo Methods and Applications 2016 22 1 73 79 2018 04 29 doi 10 1515 mcma 2016 0102 原始内容存档于2019 06 03 Baeurle Stephan A Multiscale modeling of polymer materials using field theoretic methodologies A survey about recent developments Journal of Mathematical Chemistry 2009 46 2 363 426 doi 10 1007 s10910 008 9467 3 Berg Bernd A Markov Chain Monte Carlo Simulations and Their Statistical Analysis With Web Based Fortran Code Hackensack NJ World Scientific 2004 ISBN 981 238 935 0 Binder Kurt The Monte Carlo Method in Condensed Matter Physics New York Springer 1995 ISBN 0 387 54369 4 Caflisch R E Monte Carlo and quasi Monte Carlo methods Acta Numerica 7 Cambridge University Press 1998 1 49 Davenport J H Primality testing revisited Proceeding ISSAC 92 Papers from the international symposium on Symbolic and algebraic computation 1992 123 129 ISBN 0 89791 489 9 doi 10 1145 143242 143290 Doucet Arnaud Freitas Nando de Gordon Neil Sequential Monte Carlo methods in practice New York Springer 2001 ISBN 0 387 95146 6 Eckhardt Roger Stan Ulam John von Neumann and the Monte Carlo method PDF Los Alamos Science Special Issue 1987 15 131 137 2018 04 29 原始内容 PDF 存档于2014 09 09 Fishman G S Monte Carlo Concepts Algorithms and Applications New York Springer 1995 ISBN 0 387 94527 X C Forastero and L Zamora and D Guirado and A Lallena A Monte Carlo tool to simulate breast cancer screening programmes Phys In Med And Biol 2010 55 17 5213 5229 Bibcode 2010PMB 55 5213F doi 10 1088 0031 9155 55 17 021 Golden Leslie M The Effect of Surface Roughness on the Transmission of Microwave Radiation Through a Planetary Surface 伊卡洛斯 期刊 1979 38 3 451 455 Bibcode 1979Icar 38 451G doi 10 1016 0019 1035 79 90199 4 Gould Harvey Tobochnik Jan An Introduction to Computer Simulation Methods Part 2 Applications to Physical Systems Reading Addison Wesley 1988 ISBN 0 201 16504 X Grinstead Charles Snell J Laurie Introduction to Probability 美國數學學會 1997 10 11 Hammersley J M Handscomb D C Monte Carlo Methods London Methuen 1975 ISBN 0 416 52340 4 Hartmann A K Practical Guide to Computer Simulations World Scientific 2009 2018 04 29 ISBN 978 981 283 415 7 原始内容存档于2009 02 11 Hubbard Douglas How to Measure Anything Finding the Value of Intangibles in Business John Wiley amp Sons 2007 46 Hubbard Douglas The Failure of Risk Management Why It s Broken and How to Fix It John Wiley amp Sons 2009 Kahneman D Tversky A Judgement under Uncertainty Heuristics and Biases Cambridge University Press 1982 Kalos Malvin H Whitlock Paula A Monte Carlo Methods Wiley VCH 2008 ISBN 978 3 527 40760 6 Kroese D P Taimre T Botev Z I Handbook of Monte Carlo Methods New York John Wiley amp Sons 2011 772 ISBN 0 470 17793 4 MacGillivray H T Dodd R J Monte Carlo simulations of galaxy systems PDF Astrophysics and Space Science 施普林格科学 商业媒体 1982 86 2 永久失效連結 MacKeown P Kevin Stochastic Simulation in Physics New York Springer 1997 ISBN 981 3083 26 3 Metropolis N The beginning of the Monte Carlo method PDF Los Alamos Science 1987 1987 Special Issue dedicated to Stanislaw Ulam 125 130 Metropolis Nicholas Rosenbluth Arianna W Rosenbluth Marshall N Teller Augusta H Teller Edward Equation of State Calculations by Fast Computing Machines Journal of Chemical Physics 1953 21 6 1087 Bibcode 1953JChPh 21 1087M doi 10 1063 1 1699114 Metropolis N Ulam S The Monte Carlo Method Journal of the American Statistical Association American Statistical Association 1949 44 247 335 341 JSTOR 2280232 PMID 18139350 doi 10 2307 2280232 M Milik and J Skolnick Insertion of peptide chains into lipid membranes an off lattice Monte Carlo dynamics model Proteins Jan 1993 15 1 10 25 PMID 8451235 doi 10 1002 prot 340150104 Mosegaard Klaus Tarantola Albert Monte Carlo sampling of solutions to inverse problems PDF J Geophys Res 1995 100 B7 12431 12447 2018 04 29 Bibcode 1995JGR 10012431M doi 10 1029 94JB03097 原始内容 PDF 存档于2021 03 10 P Ojeda and M Garcia and A Londono and N Y Chen Monte Carlo Simulations of Proteins in Cages Influence of Confinement on the Stability of Intermediate States Biophys J Biophysical Society Feb 2009 96 3 1076 1082 Bibcode 2009BpJ 96 1076O doi 10 1529 biophysj 107 125369 Int Panis L De Nocker L De Vlieger I Torfs R Trends and uncertainty in air pollution impacts and external costs of Belgian passenger car traffic International Journal of Vehicle Design 2001 27 1 4 183 194 doi 10 1504 IJVD 2001 001963 Int Panis L Rabl A De Nocker L Torfs R P Sturm 编 Diesel or Petrol An environmental comparison hampered by uncertainty Mitteilungen Institut fur Verbrennungskraftmaschinen und Thermodynamik Technische Universitat Graz Austria 2002 Heft 81 Vol 1 48 54 Press William H Teukolsky Saul A Vetterling William T Flannery Brian P Numerical Recipes in Fortran 77 The Art of Scientific Computing Fortran Numerical Recipes 1 Second 劍橋大學出版社 1996 1986 ISBN 0 521 43064 X Ripley B D Stochastic Simulation 約翰威立 1987 Robert C P Casella G Monte Carlo Statistical Methods 2nd New York Springer 2004 ISBN 0 387 21239 6 Rubinstein R Y Kroese D P Simulation and the Monte Carlo Method 2nd New York John Wiley amp Sons 2007 ISBN 978 0 470 17793 8 Savvides Savvakis C Risk Analysis in Investment Appraisal Project Appraisal Journal 1994 9 1 doi 10 2139 ssrn 265905 Sawilowsky Shlomo S Fahoome Gail C Statistics via Monte Carlo Simulation with Fortran Rochester Hills MI JMASM 2003 ISBN 0 9740236 0 4 Sawilowsky Shlomo S You think you ve got trivials PDF Journal of Modern Applied Statistical Methods 2003 2 1 218 225 永久失效連結 Silver David Veness Joel Monte Carlo Planning in Large POMDPs PDF Lafferty J Williams C K I Shawe Taylor J Zemel R S Culotta A 编 Advances in Neural Information Processing Systems 23 Neural Information Processing Systems Foundation 2010 2018 04 29 原始内容 PDF 存档于2012 05 25 Szirmay Kalos Laszlo Monte Carlo Methods in Global Illumination Photo realistic Rendering with Randomization VDM Verlag Dr Mueller e K 2008 ISBN 978 3 8364 7919 6 Tarantola Albert Inverse Problem Theory Philadelphia Society for Industrial and Applied Mathematics 2005 2018 04 29 ISBN 0 89871 572 5 原始内容存档于2021 02 25 Vose David Risk Analysis A Quantitative Guide Third John Wiley amp Sons 2008 维基共享资源中相关的多媒体资源 蒙地卡羅方法 取自 https zh wikipedia org w index php title 蒙地卡羅方法 amp oldid 76576137, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，

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