自守数

自守数（Automorphic Number，中国大陆一些文献中也称为同构数）：是其任意次幂的末几位数字等于这个数本身的数。在十进制数字中，5、6、25、76、376、625、……（OEIS數列A003226）都是自守数。如果一个数是自守数，则它必定满足 $x^{m}\equiv x{\pmod {n}}$ 。

在十进制的 $k$ 位數中，最多有兩类自守數，一個個位數字為5，另一個個位數字為6。一個形式為 $n\equiv 0{\pmod {2^{k}}},n\equiv 1{\pmod {5^{k}}}$ ；另一個形式為 $n\equiv 1{\pmod {2^{k}}},n\equiv 0{\pmod {5^{k}}}$ 。其和必定为 $10^{k}+1$ 。

类似的，自守数可以推广到高次。如果把原来意义上的自守数称为2阶的话，把形如 $749^{3}=420189749\,\!$ 的数称为3阶自守数。