线性动态系统, 沒有或很少條目链入本條目, 2017年1月9日, 請根据格式指引, 在其他相關條目加入本條目的內部連結, 來建構維基百科內部網絡, 此條目没有列出任何参考或来源, 2017年1月9日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 线性动力系统是演化函数满足线性关系的动力系统, 一般来说, 动力系统没有解析解, 而线性动力系统则可以精确求解, 且具有丰富的数学性质, 线性系统还可用于理解一般动力系统的定性行为, 方法是计算系统平衡. 沒有或很少條目链入本條目 2017年1月9日 請根据格式指引 在其他相關條目加入本條目的內部連結 來建構維基百科內部網絡 此條目没有列出任何参考或来源 2017年1月9日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 线性动力系统是演化函数满足线性关系的动力系统 一般来说 动力系统没有解析解 而线性动力系统则可以精确求解 且具有丰富的数学性质 线性系统还可用于理解一般动力系统的定性行为 方法是计算系统平衡点 并将其近似为每个平衡点周围的线性系统 目录 1 概述 2 线性动力系统的解 3 二维中的分类 4 相關條目概述 编辑线性动力系统中 状态向量 N displaystyle N nbsp 维向量 记作x displaystyle mathbf x nbsp 的变化等于常数矩阵 记作A displaystyle mathbf A nbsp 乘以 x displaystyle mathbf x nbsp 这种变化有两种形式 流 即x displaystyle mathbf x nbsp 随时间连续变化 ddtx t Ax t displaystyle frac d dt mathbf x t mathbf A mathbf x t nbsp 或映射 其中 x displaystyle mathbf x nbsp 随时间离散变化 xm 1 Axm displaystyle mathbf x m 1 mathbf A mathbf x m nbsp 这些方程在以下意义上是线性的 如若 x t displaystyle mathbf x t nbsp y t displaystyle mathbf y t nbsp 是两个有效解 那么它们的任意线性组合也是有效解 如 z t def ax t by t displaystyle mathbf z t stackrel mathrm def alpha mathbf x t beta mathbf y t nbsp 其中a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp 为任意标量 矩阵A displaystyle mathbf A nbsp 不必对称 线性动力系统可精确求解 而大多数非线性动力系统不能 偶尔 非线性系统也可将变量变换为线性系统来精确求解 此外 几乎 任何非线性系统的解都可通过其定点附近的等效线性系统很好地逼近 因此 理解线性系统及其解法是理解更复杂的非线性系统的关键一步 线性动力系统的解 编辑若初向量x0 def x t 0 displaystyle mathbf x 0 stackrel mathrm def mathbf x t 0 nbsp 与矩阵A displaystyle mathbf A nbsp 的一个右特征向量rk displaystyle mathbf r k nbsp 对齐 那么动力系统就是 ddtx t Ark lkrk displaystyle frac d dt mathbf x t mathbf A mathbf r k lambda k mathbf r k nbsp 其中lk displaystyle lambda k nbsp 是相应的特征值 方程的解为 x t rkelkt displaystyle mathbf x t mathbf r k e lambda k t nbsp 可以通过替换来确认 若A displaystyle mathbf A nbsp 是可对角化矩阵 那么N displaystyle N nbsp 维空间中的任何向量都可用矩阵A displaystyle mathbf A nbsp 的左右特征向量 记作lk displaystyle mathbf l k nbsp 的线性组合表示 x0 k 1N lk x0 rk displaystyle mathbf x 0 sum k 1 N left mathbf l k cdot mathbf x 0 right mathbf r k nbsp 因此x t displaystyle mathbf x t nbsp 的一般解是右特征向量各解的线性组合 x t k 1n lk x0 rkelkt displaystyle mathbf x t sum k 1 n left mathbf l k cdot mathbf x 0 right mathbf r k e lambda k t nbsp 离散情形同理 二维中的分类 编辑 nbsp 非线性系统的线性近似 根据雅各布矩阵的迹和行列式 平衡点附近系统的线性化 对二维定点进行分类 特征多项式det A lI 的根就是A的特征值 根ln displaystyle lambda n nbsp 的符号与相互关系可确定动力系统 ddtx t Ax t displaystyle frac d dt mathbf x t mathbf A mathbf x t nbsp 的稳定性 对于2维系统 特征多项式形式为l2 tl D 0 displaystyle lambda 2 tau lambda Delta 0 nbsp 其中t displaystyle tau nbsp 是迹 D displaystyle Delta nbsp 是A的行列式 因此 这两个根的形式是 l1 t t2 4D2 displaystyle lambda 1 frac tau sqrt tau 2 4 Delta 2 nbsp l2 t t2 4D2 displaystyle lambda 2 frac tau sqrt tau 2 4 Delta 2 nbsp 且D l1l2 displaystyle Delta lambda 1 lambda 2 nbsp t l1 l2 displaystyle tau lambda 1 lambda 2 nbsp 因此 如果D lt 0 displaystyle Delta lt 0 nbsp 则特征值符号相反 定点为鞍点 若D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp 则特征值符号相同 因此 若t gt 0 displaystyle tau gt 0 nbsp 则两个特征值都为正 该点不稳定 若t lt 0 displaystyle tau lt 0 nbsp 则两个特征值都为负 该点稳定 判别式将说明该点是节点型还是螺旋型 即特征值是实值还是复值 相關條目 编辑線性系統 动力系统 動力系統及微分方程主題列表 英语 List of dynamical systems and differential equations topics 矩阵微分方程 取自 https zh wikipedia org w index php title 线性动态系统 amp oldid 79366236, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,