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位力定理

位力定理(英語:Virial theorem,又稱维里定理均功定理)是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係。考慮一個有N個質點的體系,其數學表達式爲:

其中:角括號表示對時間取平均,是系统内部的总动能,是第k個質點所受的力,是第k個質點的位置向量;等式右邊稱作均位力積(英語:virial,簡稱位力),反映體系內相互作用強度。英語virial一詞由德國物理學家魯道夫·克勞修斯於1870年根據拉丁語單詞vīs(意爲力、能量)命名。[1]

特別地,若系統内任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離次冪成正比的勢能(其中為常數),則定理簡化為:

即:體系的總動能2倍等於總勢能的n倍。對於引力勢能,這裏的

位力定理的一個意義在於,它允許計算平均總動能,即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統,例如在統計力學中考慮的那些;根據能量均分定理,該平均總動能與系統溫度有關。然而,維里定理不依賴於溫度的概念,甚至適用於不處於熱平衡的系統。維里定理已以各種方式推廣,特別是張量形式。

歷史 编辑

命題推導 编辑

簡單例子 编辑

考慮N = 2個質量相同的質點構成的孤立體系,它們受萬有引力相互作用。假設兩個質點分別以v1(t)v2(t) = −v1(t)的速度(大小均為v,方向相反)圍繞共同質心做匀速圆周运动,半徑為r,兩者分別受到作用力F1(t)F2(t) = −F1(t)(大小均爲F,方向相反)。則體系的時間平均縂動能為:

 

以共同質心為原點,兩者的位置向量分別爲r1(t)r2(t) = −r1(t)(大小均爲常數r)。引力方向朝向原點,與位置向量方向相反,故F1(t) ⋅ r1(t) = F2(t) ⋅ r2(t) = −Fr。又,向心力大小等於萬有引力大小:F = mv2/r。代入得:

 

一般推導 编辑

預先知識

對於 Virial theorem 的推導, 將需要用到齐次函数的如下性質, 既當    次 齊次函數時, 有:

 

對於 時有:

 


具體推導

注意到動能 是一個關於速度 的2次齊次函數:

  , 同時有  , 從而得到

 

計算上式對於時間 的平均:

 

我們關注  的情況, 假設系統的運動是有限的 ( 不會有 出現的情況), 此時等式右邊的前半部分將趨近於 :

 

我們得到:

 

 可以通過系統的勢能   寫出:  ; 另外我們最終假設勢能   為, 次齊次函數, 並利用預先知識中 時的等式 就能夠得到位力定理:

 

與質點間勢能之關聯 编辑

對於冪定律力 编辑

關於時間平均 编辑

一般化 编辑

引入電磁場 编辑

相對論均匀系統 编辑

各學科中的應用 编辑

量子力學 编辑

狹義相對論 编辑

天體物理學 编辑

位力質量、位力半徑 编辑

統計物理 编辑

在統計物理中,有求一般熱力學系宗宏觀壓強張量的位力展開[來源請求]

 

亦即體系壓強爲(與動能相關的)動理壓強和(與相互作用相關的)內壓強之和。上式中的第二項即爲均位力積相關項。

引用 编辑

  1. ^ Clausius, RJE. On a Mechanical Theorem Applicable to Heat. Philosophical Magazine. Series 4. 1870, 40 (265): 122–127. doi:10.1080/14786447008640370. 

位力定理, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, template, translated, page, translated, page, 标签, 英語, virial, theorem, 又稱维里定理, 均功定理, 是力學中描述穩定的多. 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 位力定理 英語 Virial theorem 又稱维里定理 均功定理 是力學中描述穩定的多自由度孤立體系的總動能和總勢能時間平均之間的數學關係 考慮一個有N個質點的體系 其數學表達式爲 T 1 2 k 1 N F k r k displaystyle langle T rangle frac 1 2 sum k 1 N langle boldsymbol F k cdot boldsymbol r k rangle 其中 角括號表示對時間取平均 T displaystyle T 是系统内部的总动能 F k displaystyle boldsymbol F k 是第k個質點所受的力 r k displaystyle boldsymbol r k 是第k個質點的位置向量 等式右邊稱作均位力積 英語 virial 簡稱位力 反映體系內相互作用強度 英語virial一詞由德國物理學家魯道夫 克勞修斯於1870年根據拉丁語單詞vis 意爲力 能量 命名 1 特別地 若系統内任何粒子兩兩之間的力來自與粒子間距離r displaystyle r 的n displaystyle n 次冪成正比的勢能V r a r n displaystyle V r alpha r n 其中a n displaystyle alpha n 為常數 則定理簡化為 2 T n V Total displaystyle 2 langle T rangle n langle V text Total rangle 即 體系的總動能2倍等於總勢能的n倍 對於引力勢能 這裏的n 1 displaystyle n 1 位力定理的一個意義在於 它允許計算平均總動能 即便是對於那些無法精確解的非常複雜的系統 例如在統計力學中考慮的那些 根據能量均分定理 該平均總動能與系統溫度有關 然而 維里定理不依賴於溫度的概念 甚至適用於不處於熱平衡的系統 維里定理已以各種方式推廣 特別是張量形式 目录 1 歷史 2 命題推導 2 1 簡單例子 2 2 一般推導 2 3 與質點間勢能之關聯 2 4 對於冪定律力 2 5 關於時間平均 3 一般化 3 1 引入電磁場 3 2 相對論均匀系統 4 各學科中的應用 4 1 量子力學 4 2 狹義相對論 4 3 天體物理學 4 3 1 位力質量 位力半徑 4 4 統計物理 5 引用歷史 编辑命題推導 编辑簡單例子 编辑 考慮N 2 個質量相同的質點構成的孤立體系 它們受萬有引力相互作用 假設兩個質點分別以v1 t 和v2 t v1 t 的速度 大小均為v 方向相反 圍繞共同質心做匀速圆周运动 半徑為r 兩者分別受到作用力F1 t 和F2 t F1 t 大小均爲F 方向相反 則體系的時間平均縂動能為 T k 1 N 1 2 m k v k 2 1 2 m v 1 2 1 2 m v 2 2 m v 2 displaystyle langle T rangle sum k 1 N frac 1 2 m k left mathbf v k right 2 frac 1 2 m mathbf v 1 2 frac 1 2 m mathbf v 2 2 mv 2 nbsp 以共同質心為原點 兩者的位置向量分別爲r1 t 及r2 t r1 t 大小均爲常數r 引力方向朝向原點 與位置向量方向相反 故F1 t r1 t F2 t r2 t Fr 又 向心力大小等於萬有引力大小 F mv2 r 代入得 1 2 k 1 N F k r k 1 2 F r F r F r m v 2 r r m v 2 T displaystyle frac 1 2 sum k 1 N bigl langle mathbf F k cdot mathbf r k bigr rangle frac 1 2 Fr Fr Fr frac mv 2 r cdot r mv 2 langle T rangle nbsp 一般推導 编辑 預先知識對於 Virial theorem 的推導 將需要用到齐次函数的如下性質 既當 f x displaystyle f vec x nbsp 為 k displaystyle k nbsp 次 齊次函數時 有 d f a x d a x x a f a x a k f x a k a k 1 f x displaystyle frac df alpha vec x d alpha vec x cdot vec x frac partial partial alpha f alpha vec x frac partial alpha k f vec x partial alpha k alpha k 1 f vec x nbsp 對於a 1 displaystyle a 1 nbsp 時有 x f x k f x displaystyle vec x vec nabla f vec x kf vec x nbsp 具體推導注意到動能T displaystyle T nbsp 是一個關於速度v displaystyle vec v nbsp 的2次齊次函數 v T v 2 T displaystyle vec v cdot frac partial T partial vec v 2T nbsp 同時有 T v p displaystyle frac partial T partial vec v vec p nbsp 從而得到 2 T v p d d t p x p x displaystyle 2T vec v cdot vec p frac d dt vec p cdot vec x dot vec p cdot vec x nbsp 計算上式對於時間D t displaystyle Delta t nbsp 的平均 lt 2 T gt D t 1 D t 0 D t 等 式 右 邊 d t displaystyle lt 2T gt Delta t frac 1 Delta t int 0 Delta t text 等 式 右 邊 dt nbsp 我們關注D t displaystyle Delta t rightarrow infty nbsp 的情況 假設系統的運動是有限的 p x displaystyle vec p cdot vec x nbsp 不會有 displaystyle infty nbsp 出現的情況 此時等式右邊的前半部分將趨近於0 displaystyle 0 nbsp l i m D t 1 D t 0 D t d d t p x d t l i m D t p x D t p x 0 D t 0 displaystyle lim Delta t rightarrow infty frac 1 Delta t int 0 Delta t frac d dt vec p cdot vec x dt lim Delta t rightarrow infty frac vec p cdot vec x Delta t vec p cdot vec x 0 Delta t rightarrow 0 nbsp 我們得到 2 lt T gt t lt p x gt t displaystyle 2 lt T gt t lt dot vec p cdot vec x gt t nbsp p displaystyle dot vec p nbsp 可以通過系統的勢能 V x displaystyle V vec x nbsp 寫出 p V x displaystyle dot vec p vec nabla V vec x nbsp 另外我們最終假設勢能 V x displaystyle V vec x nbsp 為 k displaystyle k nbsp 次齊次函數 並利用預先知識中a 1 displaystyle a 1 nbsp 時的等式 就能夠得到位力定理 2 lt T gt t lt p x gt t lt x V x gt t k lt V x gt t displaystyle 2 lt T gt t lt dot vec p cdot vec x gt t lt vec x cdot vec nabla V vec x gt t k lt V vec x gt t nbsp 與質點間勢能之關聯 编辑 對於冪定律力 编辑 關於時間平均 编辑一般化 编辑引入電磁場 编辑 相對論均匀系統 编辑各學科中的應用 编辑量子力學 编辑 狹義相對論 编辑 天體物理學 编辑 位力質量 位力半徑 编辑 統計物理 编辑 在統計物理中 有求一般熱力學系宗宏觀壓強張量的位力展開 來源請求 p 2 V 1 2 i 1 N m i v i v i 1 2 i lt j r i j F i j displaystyle mathbf p frac 2 V left frac 1 2 left langle sum i 1 N m i mathbf v i otimes mathbf v i right rangle frac 1 2 left langle sum i lt j boldsymbol r ij otimes boldsymbol F ij right rangle right nbsp 亦即體系壓強爲 與動能相關的 動理壓強和 與相互作用相關的 內壓強之和 上式中的第二項即爲均位力積相關項 引用 编辑 Clausius RJE On a Mechanical Theorem Applicable to Heat Philosophical Magazine Series 4 1870 40 265 122 127 doi 10 1080 14786447008640370 取自 https zh wikipedia org w index php title 位力定理 amp oldid 79141238, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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