維費里希素數

若素数${\displaystyle p^{2}|2^{p-1}-1}$，則稱為維費里希素数（Wieferich prime）。它最先在1909年阿圖爾·維費里希（Arthur Wieferich）有關費馬大定理的作品描述。

1909年，維費里希證明：${\displaystyle x,y,z}$是整數同時${\displaystyle p}$是質數使得${\displaystyle x^{p}+y^{p}+z^{p}=0}$，並且${\displaystyle p\nmid xyz}$，那麼${\displaystyle p}$就是維費里希素数。

1910年Mirimanoff擴展這個定理，證明了若${\displaystyle p}$符合上面的條件，${\displaystyle p|3^{p-1}}$。

梅森數${\displaystyle M_{q}=2^{q}-1}$的質因數${\displaystyle p}$是維費里希素数若且唯若${\displaystyle p^{2}|2^{q}-1}$，顯然，梅森質數不可能是維費里希素数。

尋找

現時已知的維費里希素数只有1093和3511（OEIS:A001220），由W. Meissner在1913年和N. G. W. H. Beeger在1922年各自發現。若有更大的存在，它必須大於${\displaystyle 1.25\times 10^{15}}$  [1]^{[永久失效連結]}。雖然1988年J. H. Silverman證明若abc猜想成立，對於任何正整數${\displaystyle a>1}$ ，存在無限個質數${\displaystyle p}$ 使得${\displaystyle p^{2}\nmid a^{p-1}-1}$ ；但「維費里希素数的數量有限」這個猜想仍未證實。

參見

• 沃尔-孙-孙素数
• 沃尔斯滕霍尔姆素数
• 威爾遜質數
• 「同餘」列表（英语：Table of congruence）