累积量, 在概率论和统计学中, 一个概率分布的κn, 英語, cumulant, 是指一系列能够提供和矩一样的信息的量, 和随机变量的矩密切相关, 如果两个随机变量的各阶矩都一样, 那么它们的也都一样, 反之亦然, 对于随机变量x, displaystyle, 而言, 一阶等于期望值e, displaystyle, 二阶等于方差v, displaystyle, 三阶等于三阶中心矩s, displaystyle, 但是四阶以及更高阶的与同阶的中心矩并不相等, 在某些理论推导中, 使用更加方便, 特别是当两个或者更多的. 在概率论和统计学中 一个概率分布的累积量kn 英語 Cumulant 是指一系列能够提供和矩一样的信息的量 累积量和随机变量的矩密切相关 如果两个随机变量的各阶矩都一样 那么它们的累积量也都一样 反之亦然 对于随机变量X displaystyle X 而言 一阶累积量等于期望值E x displaystyle E x 二阶累积量等于方差V x displaystyle V x 三阶累积量等于三阶中心矩S x displaystyle S x 但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等 在某些理论推导中 使用累积量更加方便 特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时 它们的 n displaystyle n 阶累积量的和等于它们和的n displaystyle n 阶累积量 另外 服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为0 displaystyle 0 目录 1 定义 2 统计数学中的应用 3 一些具体概率分布的累积量 4 相關條目 5 参考来源 6 外部链接定义 编辑一个随机变量X displaystyle X nbsp 的n displaystyle n nbsp 阶累积量k n displaystyle kappa n nbsp 可以用所谓的累积生成函数来定义 K t log E e t X n 1 k n t n n g t displaystyle K t log mathbb E e tX sum n 1 infty kappa n frac t n n g t nbsp 从上面的观察可知 累积量可以通过对生成函数g t displaystyle g t nbsp 在0处 进行求导得到 也就是说 累积量是g t displaystyle g t nbsp 的麦克劳林级数的系数 k 1 g 0 m 1 m k 2 g 0 m 2 m 1 2 s 2 k n g n 0 displaystyle begin aligned kappa 1 amp g 0 mu 1 mu kappa 2 amp g 0 mu 2 mu 1 2 sigma 2 amp vdots kappa n amp g n 0 amp vdots end aligned nbsp 如果使用X displaystyle X nbsp 没有中心化 的n displaystyle n nbsp 阶矩m n E X n displaystyle mu n prime mathbb E X n nbsp 和矩生成函数则可以定义 E e t X 1 m 1 m m t m m e g t displaystyle mathbb E e tX 1 sum m 1 infty mu m frac t m m e g t nbsp 使用形式幂级数定义的对数函数 g t log E e t X n 1 1 n 1 E e t X n n 1 1 n m 1 m m t m m n m 1 t m 2 m 1 2 t 2 2 m 3 3 m 2 m 1 2 m 1 3 t 3 3 displaystyle begin aligned g t amp log operatorname E e tX sum n 1 infty frac 1 n left 1 operatorname E e tX right n sum n 1 infty frac 1 n left sum m 1 infty mu m frac t m m right n amp mu 1 t left mu 2 mu 1 2 right frac t 2 2 left mu 3 3 mu 2 mu 1 2 mu 1 3 right frac t 3 3 cdots end aligned nbsp 随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关 比如说 随机变量X有期望m E X displaystyle scriptstyle mu mathbb E X nbsp 和方差 s 2 E X m 2 displaystyle scriptstyle sigma 2 mathbb E left X mu 2 right nbsp 那么它们也是前两阶的累积量 m k 1 s 2 k 2 displaystyle scriptstyle mu kappa 1 sigma 2 kappa 2 nbsp 要注意有时候n displaystyle n nbsp 阶矩会用角括号来表示 m n E X n X n displaystyle mu n operatorname E X n langle X n rangle nbsp 累积量则用下标c displaystyle c nbsp 的角括号表示 k n X n c displaystyle kappa n langle X n rangle c nbsp 如果随机变量的矩生成函数不存在 那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量 有些作者 1 2 偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数 这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数 3 4 h t n 1 k n i t n n log E e i t X m i t s 2 t 2 2 displaystyle h t sum n 1 infty kappa n frac it n n log operatorname E e itX mu it sigma 2 frac t 2 2 cdots nbsp 统计数学中的应用 编辑使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数 比如说对两个独立的随机变量X displaystyle X nbsp 和Y displaystyle Y nbsp g X Y t log E e t X Y log E e t X E e t Y log E e t X log E e t Y g X t g Y t displaystyle begin aligned g X Y t amp log operatorname E e t X Y log operatorname E e tX operatorname E e tY amp log operatorname E e tX log operatorname E e tY g X t g Y t end aligned nbsp 它们的和的累积量是各自的累积量的和 一些具体概率分布的累积量 编辑常量X m displaystyle X mu nbsp 的累积生成函数是 K t m t displaystyle K t mu t nbsp 一阶累积量是k 1 K 0 m displaystyle kappa 1 K 0 mu nbsp 其他阶的累积量均为0 k 2 k 3 k 4 0 displaystyle kappa 2 kappa 3 kappa 4 0 nbsp 服从伯努利分布的随机变量的累积生成函数是 K t l o g 1 p p e t displaystyle K t log 1 p pe t nbsp 一阶累积量是k 1 K 0 p displaystyle kappa 1 K 0 p nbsp 二阶累积量是k 2 K 0 p 1 p displaystyle kappa 2 K 0 p 1 p nbsp 累积量满足递推公式k n 1 p 1 p d k n d p displaystyle kappa n 1 p 1 p frac d kappa n dp nbsp dd 服从几何分布的随机变量的累积生成函数是K t l o g p 1 p 1 e t displaystyle K t log frac p 1 p 1 e t nbsp 一阶累积量是k 1 K 0 p 1 1 displaystyle kappa 1 K 0 p 1 1 nbsp 二阶累积量是k 2 K 0 k 1 p 1 displaystyle kappa 2 K 0 kappa 1 p 1 nbsp 服从泊松分布的随机变量的累积生成函数是K t m e t 1 displaystyle K t mu e t 1 nbsp 所有的累积量军等于参数m displaystyle mu nbsp k 1 k 2 k 3 k n m displaystyle kappa 1 kappa 2 kappa 3 kappa n mu nbsp 服从二项分布的随机变量的累积生成函数是K t n l o g 1 p p e t displaystyle K t nlog 1 p pe t nbsp 一阶累积量是k 1 K 0 n p displaystyle kappa 1 K 0 np nbsp 二阶累积量是k 2 K 0 k 1 1 p displaystyle kappa 2 K 0 kappa 1 1 p nbsp 服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是K t n 1 1 p e t 1 displaystyle K t frac n frac 1 1 p e t 1 nbsp 一阶累积量是k 1 K 0 n 1 p 1 displaystyle kappa 1 K 0 n frac 1 p 1 nbsp 二阶累积量是k 2 K 0 k 1 p 1 displaystyle kappa 2 K 0 kappa 1 p 1 nbsp 相關條目 编辑累積量生成函數参考来源 编辑 Kendall M G Stuart A 1969 The Advanced Theory of Statistics Volume 1 3rd Edition Griffin London Section 3 12 Lukacs E 1970 Characteristic Functions 2nd Edition Griffin London Page 27 Lukacs E 1970 Characteristic Functions 2nd Edition Griffin London Section 2 4 Aapo Hyvarinen Juha Karhunen and Erkki Oja 2001 Independent Component Analysis John Wiley amp Sons Section 2 7 2 外部链接 编辑埃里克 韦斯坦因 Cumulant MathWorld 英文 累积量 页面存档备份 存于互联网档案馆 一些数学术语的早期使用 取自 https zh wikipedia org w index php title 累积量 amp oldid 71974400, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,