素數定理

在數論中，素数定理（英語：Prime number theorem）描述素数在自然數中分佈的漸進情況，給出隨著數字的增大，質數的密度逐漸降低的直覺的形式化描述。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家德·拉·瓦莱布桑先後獨立給出證明。證明用到了複分析，尤其是黎曼ζ函數。

素数的出現規律一直困惑著數學家。一個個地看，素数在正整數中的出現沒有什麼規律。可是總體地看，素数的個數竟然有規可循。對正實數x，定義π(x)為素数计数函数，亦即不大於x的素数個數。數學家找到了一些函數來估計π(x)的增長。以下是第一個這樣的估計。

${\displaystyle \pi (x)\approx {\frac {x}{\ln \,x}}}$

其中 ln x 為 x 的自然對數。上式的意思是當 x 趨近無限，π(x)與x/ln x的比值趨近 1。但這不表示它們的數值隨著 x 增大而接近。

下面是對π(x)更好的估計：

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(xe^{-{\frac {1}{15}}{\sqrt {\ln \,x}}}\right)}$，當x 趨近∞。

其中${\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln \,t}}}$（对数积分），而關係式右邊第二項是誤差估計，詳見大O符號。

敘述

定義 π(x) 為素数计数函数，也就是小於等於x 的質數個數。例如 π(10)=4，因為共有 4 個質數小於等於 10，分別是 2、3、5、7。質數定理的敘述為：當 x 趨近無限，π(x) 和 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$  的比值趨近 1。其數學式寫做

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}$ 。

淺白的說，當 x 很大的時候，π(x) 差不多等於 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ 。該定理被認為是質數的漸進分布定律，以漸進符號可簡化為

${\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}$ 。

注意到，上式並不是說指隨著 x 趨近無限，${\displaystyle \pi (x)}$  與 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ 的差趨近於 0。而是隨著 x 趨近無限，${\displaystyle \pi (x)}$  與 ${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$ 的相對誤差趨近於 0。

因此，質數定理也可以被想像成描述從正整數中抽到素数的概率：從不大於 n 的正整數中隨機選出一個數，它是素数的概率大約是${\displaystyle {\frac {1}{\ln n}}}$ 。

質數定理有一個等價數是關於第 n 個素数 ${\displaystyle p_{n}}$ 的漸近估計式

${\displaystyle p_{n}\sim n\ln \,n}$ 

關於 π(x)、x / ln x 和 li(x) 的數值

下表比較了π(x)，x/ln x和Li(x)：

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)}$ ^[1]	${\displaystyle {\boldsymbol {\pi }}(x)-{\frac {x}{\ln x}}}$ ^[2]	${\displaystyle {\frac {{\boldsymbol {\pi }}(x)}{\frac {x}{\ln x}}}}$	${\displaystyle {\rm {Li}}(x)-{\boldsymbol {\pi }}(x)}$ ^[3]	${\displaystyle {\frac {x}{{\boldsymbol {\pi }}(x)}}}$
10	4	−0.3	0.921	2.2	2.500
10^2	25	3.3	1.151	5.1	4.000
10^3	168	23	1.161	10	5.952
10^4	1,229	143	1.132	17	8.137
10^5	9,592	906	1.104	38	10.425
10^6	78,498	6,116	1.084	130	12.740
10^7	664,579	44,158	1.071	339	15.047
10^8	5,761,455	332,774	1.061	754	17.357
10^9	50,847,534	2,592,592	1.054	1,701	19.667
10^10	455,052,511	20,758,029	1.048	3,104	21.975
10^11	4,118,054,813	169,923,159	1.043	11,588	24.283
10^12	37,607,912,018	1,416,705,193	1.039	38,263	26.590
10^13	346,065,536,839	11,992,858,452	1.034	108,971	28.896
10^14	3,204,941,750,802	102,838,308,636	1.033	314,890	31.202
10^15	29,844,570,422,669	891,604,962,452	1.031	1,052,619	33.507
10^16	279,238,341,033,925	7,804,289,844,393	1.029	3,214,632	35.812
10^17	2,623,557,157,654,233	68,883,734,693,281	1.027	7,956,589	38.116
10^18	24,739,954,287,740,860	612,483,070,893,536	1.025	21,949,555	40.420
10^19	234,057,667,276,344,607	5,481,624,169,369,960	1.024	99,877,775	42.725
10^20	2,220,819,602,560,918,840	49,347,193,044,659,701	1.023	222,744,644	45.028
10^21	21,127,269,486,018,731,928	446,579,871,578,168,707	1.022	597,394,254	47.332
10^22	201,467,286,689,315,906,290	4,060,704,006,019,620,994	1.021	1,932,355,208	49.636
10^23	1,925,320,391,606,803,968,923	37,083,513,766,578,631,309	1.020	7,250,186,216	51.939
10^24	18,435,599,767,349,200,867,866	339,996,354,713,708,049,069	1.019	17,146,907,278	54.243
10^25	176,846,309,399,143,769,411,680	3,128,516,637,843,038,351,228	1.018	55,160,980,939	56.546
OEIS	A006880	A057835		A057752

歷史

1797年至1798年間，法國數學家勒讓德根據上述的質數表猜測，${\displaystyle \pi (x)}$ 大約等於 ${\displaystyle {\frac {x}{A\ln x+B}}}$ ，其中${\displaystyle A}$ 、${\displaystyle B}$ 是未知的函數。勒讓德於1808年出版一本關於數論的書的第二版，書中他給出更精確的猜測：${\displaystyle A=1}$ ，${\displaystyle B=-1.08366}$ 。根據高斯自己在1849年的回憶，他在15歲或16歲(1792或1793年)的時候就已經考慮過類似的問題了^[4]。1832年，狄利克雷經過跟高斯的交流之後，給出了一個新的逼近函數 ${\displaystyle li(x)}$ ，(事實上他是用一個有點不一樣的級數表達式)。勒讓德和狄利克雷的式子皆等價於現在的版本，但如果考慮逼近式與 ${\displaystyle \pi (x)}$  的差，而不是比值的話，狄利克雷的式子是準確許多的。

俄國數學家切比雪夫參考了歐拉在1731年的工作，引進了定義在實數軸上黎曼ζ函數，企圖證明質數分布的漸進式，並將他所得到的結果寫成兩篇論文，分別在1848和1850年發表。切比雪夫可以證明，如果${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}$ 存在且有限，則它一定是1^[5]。此外，在沒有假設任何結果之下，他也證明當 x 足夠大，${\displaystyle {\frac {\;\pi (x)\;}{\frac {x}{\ln(x)}}}}$ 會界在兩個很靠近 1 的數字之間^[6]。雖然切比雪夫的論文沒辦法證明質數定理，但它對 ${\displaystyle \pi (x)}$  已經可以推論出伯特蘭-切比雪夫定理：對任何大於${\displaystyle 1}$ 的正整數${\displaystyle n}$ ，存在一個質數介於${\displaystyle n}$ 和${\displaystyle 2n}$ 之間。

1859年，黎曼提交了一篇關於質數分布的非常重要的報告《論小於給定數值的質數個數（英语：On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）》，這也是黎曼在這個領域的唯一一篇文章。黎曼在報告中使用了創新的想法，將${\displaystyle \zeta }$ 函數的定義解析延拓到整個複數平面，並且將質數的分布與${\displaystyle \zeta }$ 函數的零點緊密的聯繫起來。因此，這篇報告是歷史上首次用複分析的方法研究實函數 ${\displaystyle \pi (x)}$ 。1896年法國數學家雅克·阿達馬和比利時數學家夏尔-让·德拉瓦莱·普桑先後獨立給出證明。兩個證明延著黎曼的思路繼續拓展，且都使用複分析的工具，其中的關鍵步驟是證明如果複數${\displaystyle s}$ 可以寫成 ${\displaystyle 1+it}$  的形式，且 ${\displaystyle t>0}$ ，則 ${\displaystyle \zeta (s)\neq 0}$ ^[7]。

進入20世紀之後，阿達馬和普桑證明的定理經常被稱作質數定理，定理的其他不同證明也陸陸續續被發現，這之中包括1949年阿特勒·塞爾伯格和艾狄胥·帕爾發現的「初等證明」。原本的證明是既冗長，又複雜，於是有很多後面發現的證明使用了陶伯定理（英语：Tauberian theorem）讓證明變得比較簡短，但卻變得讓人比較難以消化。1980年，美國數學家唐納德·J·紐曼（英语：Donald J. Newman）發現了一個簡潔的證明^[8][9]，這可能是目前已知最簡單的證明。不過，證明中使用了柯西積分公式，因此一般不被視為是為初等的證明。

因為黎曼ζ函數與${\displaystyle \pi (x)}$ 關係密切，關於黎曼${\displaystyle \zeta }$ 函數的黎曼猜想對數論很重要。一旦猜想獲證，便能大大改進素数定理誤差的估計。1901年瑞典數學家海里格·馮·科赫證明出，假設黎曼猜想成立，以上關係式誤差項的估計可改進為

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln \,x\right)}$ 

至於大O項的常數則還未知道。^{[來源請求]}

初等證明

素数定理有些初等證明只需用數論的方法。第一個初等證明於1949年由匈牙利數學家保羅·艾狄胥和挪威數學家阿特利·西爾伯格合作得出。

在此之前一些數學家不相信能找出不需借助艱深數學的初等證明。像英國數學家哈代便說過素数定理必須以複分析證明，顯出定理結果的「深度」。他認為只用到實數不足以解決某些問題，必須引進複數來解決。

相關條目

• 抽象解析数论
• 切比雪夫函數─與質數定理密切相關的函數
• 質數計數函數

參考資料

1. A006880
2. A057835
3. A057752
4. C. F. Gauss. Werke, Bd 2, 1st ed, 444–447. Göttingen 1863.
5. Costa Pereira, N. A Short Proof of Chebyshev's Theorem. American Mathematical Monthly. August–September 1985, 92 (7): 494–495. JSTOR 2322510. doi:10.2307/2322510. 
6. Nair, M. On Chebyshev-Type Inequalities for Primes. American Mathematical Monthly. February 1982, 89 (2): 126–129. JSTOR 2320934. doi:10.2307/2320934. 
7. Ingham, A. E. The Distribution of Prime Numbers. Cambridge University Press. 1990: 2–5. ISBN 978-0-521-39789-6. 
8. Newman, Donald J. Simple analytic proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1980, 87 (9): 693–696. JSTOR 2321853. MR 0602825. doi:10.2307/2321853. 
9. Zagier, Don. Newman's short proof of the prime number theorem. American Mathematical Monthly. 1997, 104 (8): 705–708 [2019-05-03]. JSTOR 2975232. MR 1476753. doi:10.2307/2975232. （原始内容于2021-04-20）. 

外部链接