算子拓扑

泛函分析中，在巴拿赫空间X上有几种标准拓扑被赋予有界线性算子代数${\displaystyle B(H)}$。

概述

令${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 为巴拿赫空间X上的线性算子序列。考虑这样的陈述：${\displaystyle (T_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ 收敛到X上某算子T，这可能有歧义：

• 若${\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$ ，即${\displaystyle T_{n}-T}$ 的算子范数（${\displaystyle \|T_{n}x-Tx\|_{X}}$ 的上确界，其中x在X中的单位球面上）收敛到0，就称${\displaystyle T_{n}\to T}$ 在一致算子拓扑中。
• ${\displaystyle \forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx}$ ，就称${\displaystyle T_{n}\to T}$ 在强算子拓扑中。
• 假设${\displaystyle \forall x\in X,\ T_{n}x\to Tx}$ 在X的弱拓扑中。这是说，对X上所有连续线性泛函${\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)}$ ，称${\displaystyle T_{n}\to T}$ 在弱算子拓扑中。

B(H)上的拓扑列表

 

有界算子空间${\displaystyle B(H)}$ 上的拓扑关系图

除上述拓扑外，${\displaystyle B(X)}$ 上还可定义许多拓扑，大多最初只是${\displaystyle X=H}$ 为希尔伯特空间时才被定义，尽管很多时候都有适当的推广。 下列拓扑都是局部凸的，即由一族半范数定义。

在数学分析中，若拓扑有很多开集，则称强拓扑；若有较少的开集，称为弱拓扑。因此，相应的收敛模式分别是强收敛和弱收敛（拓扑学中可能有相反的含义，或改称细拓扑与粗拓扑）。 右图是这些关系的简单总结，箭头从强指向弱。

若H是希尔伯特空间，则希尔伯特空间${\displaystyle B(X)}$ 有（唯一）预对偶${\displaystyle B(H)_{*}}$ ，由迹类算子组成，其对偶是${\displaystyle B(X)}$ 。预对偶中，w为正的半范数${\displaystyle p_{w}(x)}$ 定义为${\displaystyle B(w,\ x^{*}x)^{1/2}}$ 。

若B是向量空间A上线性映射的向量空间，则${\displaystyle \sigma (A,\ B)}$ 被定义为A上最弱的拓扑，使B中所有元素都连续。

• 范数拓扑或一致拓扑或一致算子拓扑定义为${\displaystyle B(H)}$ 上通常的范数||x||，比下面所有拓扑都强。
• 弱（巴拿赫空间）拓扑是${\displaystyle \sigma (B(H),\ B(H)^{*})}$ ，即使对偶${\displaystyle B(H)^{*}}$ 的所有元素都连续的最弱拓扑，是巴拿赫空间${\displaystyle B(H)}$ 上的弱拓扑。它比超弱、弱算子拓扑要强（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。
• 麦基拓扑或Arens-麦基拓扑是${\displaystyle B(H)}$ 上对偶为${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的最强的局部凸拓扑，也是${\displaystyle B\sigma (B(H)_{*})}$ 上的一致收敛拓扑，${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的${\displaystyle B(H)}$ -紧凸子集。比下面所有拓扑都强。
• σ-强^*拓扑或超强^*拓扑是比超强拓扑更强的最弱的拓扑，其伴随映射连续，由${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的正元素w的半范数族${\displaystyle p_{w}(x),\ p_{w}(x^{*})}$ 定义。比下面所有拓扑都强。
• σ强拓扑或超强拓扑或最强拓扑或最强算子拓扑由半范数族${\displaystyle p_{w}(x)}$ 定义，w是${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的正元素。除了强^*拓扑，它比下面所有拓扑都强。注意：虽然叫“最强拓扑”，但弱于范数拓扑。
• σ弱拓扑或超弱拓扑或弱^*算子拓扑或弱*拓扑或弱拓扑或${\displaystyle \sigma (B(H),\ B(H)_{*})}$ 拓扑由半范数|(w, x)|定义，其中w是${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的元素。比弱算子拓扑强（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。
• 强^* 算子拓扑或强^*拓扑由半范数||x(h)||、||x^*(h)||定义，其中h属于H。比强、弱算子拓扑都强。
• 强算子拓扑或强拓扑由半范数||x(h)||定义，其中h属于H。比弱算子拓扑强。
• 弱算子拓扑或弱拓扑由半范数|(x(h₁), h₂)|定义，其中所有h都属于H（注意：弱巴拿赫空间拓扑、弱算子拓扑和超弱拓扑有时被统称为弱拓扑，但它们是不同的）。

拓扑之间的关系

弱、强、强^*（算子）拓扑的${\displaystyle B(H)}$ 上的连续线性泛函是相同的，都是线性泛函${\displaystyle \forall h_{1},\ h_{2}\in H,\ (xh_{1},\ h_{2})}$ 的有限线性组合。超弱、超强、超强^*、Arens-麦基拓扑的${\displaystyle B(H)}$ 上的连续线性泛函是相同的，都是预对偶${\displaystyle B(H)_{*}}$ 的元素。

由定义，范数拓扑中的连续线性泛函与弱巴拿赫空间拓扑中的相同。这对偶是个相当大的空间，其中有很多病态元素。

在${\displaystyle B(H)}$ 的规范有界集上，弱（算子）、超强拓扑是重合的。比如，这可以从巴拿赫-阿劳格鲁定理看出来。出于基本相同的原因，超强拓扑与${\displaystyle B(H)}$ 的任何（规范）有界子集上的强拓扑相同。 Arens-麦基、超强^*、强^*拓扑也如此。

在局部凸空间中，凸集的封闭性可由连续线性泛函来表征。因此，对${\displaystyle B(H)}$ 的凸子集 K，在超强^*、超强、超弱拓扑中封闭的条件都等价，且也等价于：在强^*、强、弱（算子）拓扑中，${\displaystyle \forall r>0}$ ，K与半径为r的闭球有闭交集。 范数拓扑是可度量化的，其他的则不行。实际上，它们都不是第一可数空间。

H可分时，限制在单位球（或任何范数有界子集）上的所有拓扑都可度量化。

使用拓扑

最常用的拓扑是范数拓扑、强、弱算子拓扑。弱算子拓扑对关于紧性证明非常好用，因为据巴拿赫-阿劳格鲁定理，单位球是紧的。 范数拓扑是基本拓扑，因为它使${\displaystyle B(H)}$ 称为巴拿赫空间，但它对很多目的来说太强了。例如${\displaystyle B(H)}$ 在这拓扑中是不可分的。 强算子拓扑可能是最常用的拓扑。

超弱、超强拓扑比弱、强算子拓扑的性质更好，但定义也更复杂，所以除非真的需要这更好的性质，否则通常不会使用。例如，弱、强算子拓扑中${\displaystyle B(H)}$ 的对偶空间太小，没有什么解析内容物。

强算子、超强拓扑中，伴随映射不连续，而强^*、超强^*拓扑经过修改后则可使伴随映射连续。它们并不常用。

Arens–麦基拓扑和弱巴拿赫空间拓扑相对少用。

总之，${\displaystyle B(H)}$ 上的3个基本拓扑是范数拓扑、超强拓扑和超弱拓扑。强、弱算子拓扑分别作为后两者的便捷近似，使用广泛。其他拓扑则较为少见。

另见

• 有界算子
• 连续线性算子
• 希尔伯特空间
• 范数
• 线性映射空间拓扑
• 浑拓扑

参考文献

• Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
• Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X