在數學裡,積度量(product metric)是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量。n 個度量空間之笛卡爾積的積度量,可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量,取其 p-範數所得之值。
定義编辑
令 與 為度量空間,且令 。 上之 p-積度量 定義為
對於 及 ,
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範數的選擇编辑
在歐氏空間裡,使用 L2 範數會在積空間裡產生歐幾里得度量;不過,選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間。在度量空間範疇(具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射)裡,使用上確界範數。
參考資料编辑
Deza, Michel Marie; Deza, Elena, Encyclopedia of Distances, Springer-Verlag: 83, 2009.
十二月 04, 2023
積度量, 在數學裡, product, metric, 是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量, 個度量空間之笛卡爾積的, 可視為是將, 個子空間的範數作為, 維向量之各分量, 取其, 範數所得之值, displaystyle, mathbf, dots, mathbf, mathbf, dots, mathbf, 定義, 编辑令, displaystyle, nbsp, displaystyle, nbsp, 為度量空間, 且令, displaystyle, infty, nbsp, displaystyle, . 在數學裡 積度量 product metric 是在兩個以上度量空間之笛卡爾積內的度量 n 個度量空間之笛卡爾積的積度量 可視為是將 n 個子空間的範數作為 n 維向量之各分量 取其 p 範數所得之值 d p x 1 x n d 1 x 1 d n x n p displaystyle d p mathbf x 1 dots mathbf x n d 1 mathbf x 1 dots d n mathbf x n p 定義 编辑令 X d X displaystyle X d X nbsp 與 Y d Y displaystyle Y d Y nbsp 為度量空間 且令 1 p displaystyle 1 leq p leq infty nbsp X Y displaystyle X times Y nbsp 上之 p 積度量 d p displaystyle d p nbsp 定義為 對於 x 1 x 2 X displaystyle x 1 x 2 in X nbsp 及 y 1 y 2 Y displaystyle y 1 y 2 in Y nbsp d p x 1 y 1 x 2 y 2 d X x 1 x 2 p d Y y 1 y 2 p 1 p displaystyle d p left x 1 y 1 x 2 y 2 right left d X x 1 x 2 p d Y y 1 y 2 p right 1 p nbsp for 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp d x 1 y 1 x 2 y 2 max d X x 1 x 2 d Y y 1 y 2 displaystyle d infty left x 1 y 1 x 2 y 2 right max left d X x 1 x 2 d Y y 1 y 2 right nbsp 範數的選擇 编辑在歐氏空間裡 使用 L2 範數會在積空間裡產生歐幾里得度量 不過 選擇 p 的其他值也會形成其他拓撲等價的度量空間 在度量空間範疇 具有利普希茨常數為 1 的利普希茨映射 裡 使用上確界範數 參考資料 编辑Deza Michel Marie Deza Elena Encyclopedia of Distances Springer Verlag 83 2009 取自 https zh wikipedia org w index php title 積度量 amp oldid 37407758, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,