矩阵的平方根

在数学中，矩阵的平方根是算术中的平方根概念的推广。对一个矩阵A，如果矩阵B满足

${\displaystyle B\cdot B=A}$

那么矩阵B就是A的一个平方根。

计算

与算术中的平方根概念不同，矩阵的平方根不一定只有两个。然而依照矩阵平方根的概念以及矩阵乘法的定义，只有方块矩阵才有平方根。^[1]

对角化算法

如果矩阵的系数域是代数闭域，比如说复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的时候，对于一个对角矩阵，其平方根是很容易求得的。只需要将对角线上的每一个元素都换成它的平方根就可以了。这种思路可以推广到一般的可对角化矩阵。一个所谓的可对角化矩阵A是指可以通过相似变换成为对角矩阵D的矩阵：

${\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}$ 

其中的矩阵P是可逆的矩阵。在这种情况之下，假设矩阵D的形式是：

${\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}$ 

那么矩阵A的平方根就是：

${\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}$ 

其中的${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$ 是：

${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}$ ^[2]

丹曼-毕福斯迭代算法

另一种计算矩阵平方根的方法是丹曼-毕福斯迭代算法。在计算一个${\displaystyle n\times n}$ 矩阵A的平方根时，先设矩阵${\displaystyle Y_{0}=A}$ ，${\displaystyle Z_{0}=I_{n}}$ （${\displaystyle I_{n}}$ 是${\displaystyle n\times n}$ 的单位矩阵）。然后用以下的迭代公式计算矩阵序列${\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$ 和${\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}$ ：

${\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}$ 

${\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}$ 

这样的两个序列将会收敛到两个矩阵${\displaystyle Y}$ 和${\displaystyle Z}$ 上。其中${\displaystyle Y}$ 将会是矩阵的平方根，而${\displaystyle Z}$ 将是${\displaystyle Y}$ 的逆矩阵。

参见

• 平方根分解
• 置换矩阵
• 正定矩阵

参考来源

1. （中文）张贤达. 矩阵分析与应用. 清华大学出版社. 2008. ISBN 7302092710. ，第152页
2. （英文）Alvin C. Rencher. Methods of Multivariate Analysis, 2nd Edition. Wiley-Interscience. 2002. ISBN 978-0-471-41889-4. ，第36页

• Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J.; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., (PDF), SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015, （原始内容 (PDF)存档于2011-08-09） 
• Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5