矩形法

微积分中，矩形法是一种计算定积分近似值的方法，其思想是求若干个矩形的面积之和，这些矩形的高由函数值来决定。^[1]

将积分区间 ${\displaystyle (a,b)}$ 划分为 ${\displaystyle n}$ 个长度相等的子区间，每个子区间的长度为 ${\displaystyle \Delta x={\frac {b-a}{n}}}$ 。这些矩形左上角、右上角或顶边中点在被积函数图像上。这样，这些矩形的面积之和就约等于定积分的近似值。有：

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,{\mbox{d}}x\approx \sum _{i=1}^{n}f(a+i'\Delta x)\Delta x}$

其中${\displaystyle i'}$可以是以下三个值 ${\displaystyle i-{\frac {1}{2}}}$， ${\displaystyle i}$ ， ${\displaystyle i+{\frac {1}{2}}}$之一，由函数图像上的点为矩形的左上角、右上角或顶边中点来决定。

当 n 逐渐扩大时，此近似值更加准确。矩形法的计算本质上是与黎曼积分的定义相吻合的。上述的${\displaystyle i'}$无论取哪个值，最终和式的值都将趋近于定积分的值。^[2]

• ${\displaystyle i'=i-{\frac {1}{2}}}$

C 语言代码

#include <stdio.h> #include <math.h> double f(double x){  return sin(x);  /*也可以回传其他数学子程序,像cos(2*x)或2*atan(3*x+1)-1*/ } double rectangle_integrate(double a, double b, int subintervals){  double result;  double interval;  int i;    interval=(b-a)/subintervals;  result=0;    for(i=1;i<=subintervals;i++){  result+=f(a+interval*(i-0.5));  }  result*=interval;  return result; } int main(void){  double integral;  integral=rectangle_integrate(0,2,100);  printf("Integral: %f \n",integral);  return 0; } 

Fortran 语言代码

   Program Calc  Double Precision f,y,a,b,J,mult,sum,c1,c2  Sum=0.0  c2=0.0  c1=0.0  Print*,'Enter the start and end of the interval'  Read*,a,b  If (b.gt.a) then  goto 1  Else  goto 2  End If    1 Do J=a,b,.00000001  c1=J  Y=F(((c1+c2)/2))  Mult=Y*.00000001  Sum=sum+mult  c2=c1  End Do  2 Do J=a,b,-.00000001  c1=J  Y=F(((c1+c2)/2))  Mult=Y*.00000001  Sum=sum+mult  c2=c1  End Do  Print*,Sum  3 Format (F20.5)  End  Double Precision Function f(x)  Double Precision x  F=(4)/((x**2)+1)  Return  End 

注释与参考

1. 同济大学数学教研室. 《高等数学》 第三版. 高等教育出版社. 1988年4月: 319. ISBN 7-04-000894-7. 
2. 李忠、周建莹. 《高等数学》 第二版. 北京大学出版社. 2009年8月: 166~167. ISBN 978-7-301-15597-4. 

另见

• 梯形法
• 辛普森法