瓊斯運算

在光學中，可以以瓊斯運算來描述偏振的現象。瓊斯運算是1941年由麻省理工學院的R. C. Jones教授所發明。偏振光的狀態以瓊斯向量表示，而其他線性的光學元件則以瓊斯矩陣表示。當偏振光通過偏振片或是波板時，把原來偏振狀態的瓊斯向量乘以光學元件的瓊斯矩陣，即可運算出新的偏振態。必須要注意瓊斯運算只適用於完全極化的光，如果是部分極化、無極化或不同調則需使用穆勒運算。

瓊斯向量

偏振態	瓊斯向量
偏振方向平行x軸的線偏振	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$
偏振方向平行y軸的線偏振	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$
偏振方向與x軸夾45°的線偏振	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$
偏振方向與x軸夾-45°的線偏振	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$
偏振方向與x軸夾${\displaystyle \theta }$ 的線偏振	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta \\\sin \theta \end{pmatrix}}}$
右旋圓偏振	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$
左旋圓偏振	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

瓊斯矩陣

以下是常見的偏振片，以瓊斯矩陣的方式表示。

光學元件	瓊斯矩陣
穿透方向平行x軸的線偏振片	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
穿透方向平行y軸的線偏振片	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
穿透方向與x軸夾45°的線偏振片	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}}}$
穿透方向與x軸夾-45°的線偏振片	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}}$
右旋偏振片	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
左旋偏振片	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$
穿透方向與x軸夾${\displaystyle \Psi }$ 的線偏振片	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}\Psi &\cos \Psi \sin \Psi \\\sin \Psi \cos \Psi &\sin ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}$

以下是常見的波片，以瓊斯矩陣的方式表示，其中${\displaystyle \Gamma }$ 是相位延遲的量。

光學元件	瓊斯矩陣
光軸與x軸平行的波板	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}&0\\0&e^{i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}$
光軸與y軸平行的波板	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\Gamma /2}&0\\0&e^{-i\Gamma /2}\end{pmatrix}}}$
光軸與x軸夾45°的波板	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(\Gamma /2)&i\sin(\Gamma /2)\\i\sin(\Gamma /2)&\cos(\Gamma /2)\end{pmatrix}}}$
光軸與x軸夾${\displaystyle \Psi }$ 的波板	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{-i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi &-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )\\-i\sin(\Gamma /2)\sin(2\Psi )&e^{-i\Gamma /2}\sin ^{2}\Psi +e^{i\Gamma /2}\cos ^{2}\Psi \end{pmatrix}}}$

旋轉元件

如果光學元件M相對於本來的座標逆時針旋轉了${\displaystyle \theta }$ ，則旋轉過後的光學元件M'與M的關係如下：

${\displaystyle M'(\theta )=R(\theta )^{-1}\,M\,R(\theta )}$  ,

而 ${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$  .

參考

• E. Collett, Field Guide to Polarization, SPIE Field Guides vol. FG05, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
• E. Hecht, Optics, 2nd ed., Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
• R. C. Jones, "New calculus for the treatment of optical systems," J. Opt. Soc. Am. 31, 488–493, (1941).
• Frank L. Pedrotti, S.J. Leno S. Pedrotti, Introduction to Optics, 2nd ed., Prentice Hall (1993). ISBN 0-13-501545-6
• A. Gerald and J.M. Burch, Introduction to Matrix Methods in Optics,1st ed., John Wiley & Sons(1975). ISBN 0-471-29685-6
• Jose Jorge Gill, Eusebio Bernabeu, Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing

optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, 76, 67-71, (1987).

外部連結

• Jones Calculus written by E. Collett on Optipedia （页面存档备份，存于互联网档案馆）