牛頓恆等式, 数学中, 英語, newton, identities, 描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係, 牛顿在不知道阿爾伯特, 吉拉德, 英语, albert, girard, 先前的成果下, 於約1666年發現這些恆等式, 這些恆等式目前已被应用在许多數學领域, 如伽罗瓦理论, 不變量理論, 群论, 组合學, 也被进一步应用於数学之外, 如广义相对论, 目录, 数学陳述, 對稱多項式, 證明, 參見数学陳述, 编辑對稱多項式, 编辑, 為變量, 定義, 為k階, 冪和, disp. 数学中 牛頓恆等式 英語 Newton s identities 描述了冪和對稱多項式和初等對稱多項式此兩種对称多项式之間的關係 牛顿在不知道阿爾伯特 吉拉德 英语 Albert Girard 先前的成果下 於約1666年發現這些恆等式 這些恆等式目前已被应用在许多數學领域 如伽罗瓦理论 不變量理論 群论 组合學 也被进一步应用於数学之外 如广义相对论 目录 1 数学陳述 1 1 對稱多項式 2 證明 3 參見数学陳述 编辑對稱多項式 编辑 令 x1 xn 為變量 定義 k 1 且 pk x1 xn 為k階 冪和 p k x 1 x n i 1 n x i k x 1 k x n k displaystyle p k x 1 ldots x n sum nolimits i 1 n x i k x 1 k cdots x n k nbsp 對於k 0 定義 ek x1 xn 為 初等對稱多項式 所以 e 0 x 1 x n 1 e 1 x 1 x n x 1 x 2 x n e 2 x 1 x n 1 i lt j n x i x j e n x 1 x n x 1 x 2 x n e k x 1 x n 0 for k gt n displaystyle begin aligned e 0 x 1 ldots x n amp 1 e 1 x 1 ldots x n amp x 1 x 2 cdots x n e 2 x 1 ldots x n amp textstyle sum 1 leq i lt j leq n x i x j e n x 1 ldots x n amp x 1 x 2 cdots x n e k x 1 ldots x n amp 0 quad text for k gt n end aligned nbsp 那麼牛頓恆等式可以表示為 k e k x 1 x n i 1 k 1 i 1 e k i x 1 x n p i x 1 x n displaystyle ke k x 1 ldots x n sum i 1 k 1 i 1 e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n nbsp 對於所有的n 1 以及 n k 1 另外對於所有k gt n 1 0 i k n k 1 i 1 e k i x 1 x n p i x 1 x n displaystyle 0 sum i k n k 1 i 1 e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n nbsp 我們可以帶入前幾個k得到前幾個式子 e 1 x 1 x n p 1 x 1 x n 2 e 2 x 1 x n e 1 x 1 x n p 1 x 1 x n p 2 x 1 x n 3 e 3 x 1 x n e 2 x 1 x n p 1 x 1 x n e 1 x 1 x n p 2 x 1 x n p 3 x 1 x n displaystyle begin aligned e 1 x 1 ldots x n amp p 1 x 1 ldots x n 2e 2 x 1 ldots x n amp e 1 x 1 ldots x n p 1 x 1 ldots x n p 2 x 1 ldots x n 3e 3 x 1 ldots x n amp e 2 x 1 ldots x n p 1 x 1 ldots x n e 1 x 1 ldots x n p 2 x 1 ldots x n p 3 x 1 ldots x n end aligned nbsp 這些方程的形式和正確與否並不取決於變數的數量n 這使得可以在對稱函數環中將它們稱為恆等式 在這個環之中我們有 e 1 p 1 2 e 2 e 1 p 1 p 2 p 1 2 p 2 3 e 3 e 2 p 1 e 1 p 2 p 3 1 2 p 1 3 3 2 p 1 p 2 p 3 4 e 4 e 3 p 1 e 2 p 2 e 1 p 3 p 4 1 6 p 1 4 p 1 2 p 2 4 3 p 1 p 3 1 2 p 2 2 p 4 displaystyle begin aligned e 1 amp p 1 2e 2 amp e 1 p 1 p 2 p 1 2 p 2 3e 3 amp e 2 p 1 e 1 p 2 p 3 tfrac 1 2 p 1 3 tfrac 3 2 p 1 p 2 p 3 4e 4 amp e 3 p 1 e 2 p 2 e 1 p 3 p 4 tfrac 1 6 p 1 4 p 1 2 p 2 tfrac 4 3 p 1 p 3 tfrac 1 2 p 2 2 p 4 end aligned nbsp 在這裡 LHS永遠不會為零 這些等式允許以pk遞歸地表示ei p 1 e 1 p 2 e 1 p 1 2 e 2 e 1 2 2 e 2 p 3 e 1 p 2 e 2 p 1 3 e 3 e 1 3 3 e 1 e 2 3 e 3 p 4 e 1 p 3 e 2 p 2 e 3 p 1 4 e 4 e 1 4 4 e 1 2 e 2 4 e 1 e 3 2 e 2 2 4 e 4 displaystyle begin aligned p 1 amp e 1 p 2 amp e 1 p 1 2e 2 e 1 2 2e 2 p 3 amp e 1 p 2 e 2 p 1 3e 3 e 1 3 3e 1 e 2 3e 3 p 4 amp e 1 p 3 e 2 p 2 e 3 p 1 4e 4 e 1 4 4e 1 2 e 2 4e 1 e 3 2e 2 2 4e 4 amp vdots end aligned nbsp 一般的 我們有 p k x 1 x n 1 k 1 k e k x 1 x n i 1 k 1 1 k 1 i e k i x 1 x n p i x 1 x n displaystyle p k x 1 ldots x n 1 k 1 ke k x 1 ldots x n sum i 1 k 1 1 k 1 i e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n nbsp 對於所有的 n 1 以及 n k 1 另外對於所有k gt n 1 我們有 p k x 1 x n i k n k 1 1 k 1 i e k i x 1 x n p i x 1 x n displaystyle p k x 1 ldots x n sum i k n k 1 1 k 1 i e k i x 1 ldots x n p i x 1 ldots x n nbsp 證明 编辑設f x x x 1 x x 2 x x n x n s 1 x n 1 1 n s n displaystyle f x x x 1 x x 2 cdots x x n x n sigma 1 x n 1 cdots 1 n sigma n nbsp 當k gt n displaystyle k gt n nbsp 時 我們要證明的式子是s k s 1 s k 1 s 2 s k 2 1 n s n s k n 0 displaystyle s k sigma 1 s k 1 sigma 2 s k 2 cdots 1 n sigma n s k n 0 nbsp 由f x x n s 1 x n 1 1 n s n displaystyle f x x n sigma 1 x n 1 cdots 1 n sigma n nbsp 得x k n f x x k s 1 x k 1 1 n s n x k n displaystyle x k n f x x k sigma 1 x k 1 cdots 1 n sigma n x k n nbsp 由于f x i 0 1 i n displaystyle f x i 0 1 leq i leq n nbsp 求和得到 i 1 n x i k s 1 x i k 1 1 n s n x i k n 0 displaystyle sum i 1 n x i k sigma 1 x i k 1 cdots 1 n sigma n x i k n 0 nbsp 故s k s 1 s k 1 1 n s n s k n 0 displaystyle s k sigma 1 s k 1 cdots 1 n sigma n s k n 0 nbsp 當1 k n displaystyle 1 leq k leq n nbsp 時 我們要證明的式子是s k s 1 s k 1 1 k 1 s k 1 s 1 1 k k s k 0 displaystyle s k sigma 1 s k 1 cdots 1 k 1 sigma k 1 s 1 1 k k sigma k 0 nbsp 註意到f x f x i 1 n 1 x x i n x n 1 1 k n k s k x n k 1 displaystyle f x f x sum i 1 n frac 1 x x i nx n 1 cdots 1 k n k sigma k x n k 1 cdots nbsp 展開為形式冪級數 得f x i 1 n x 1 x i x 2 x i 2 x 3 n x n 1 1 k n k s k x n k 1 displaystyle f x sum i 1 n x 1 x i x 2 x i 2 x 3 cdots nx n 1 cdots 1 k n k sigma k x n k 1 cdots nbsp 即 x n s 1 x n 1 1 n s n n x 1 s 1 x 2 s 2 x 3 n x n 1 1 k n k s k x n k 1 displaystyle x n sigma 1 x n 1 cdots 1 n sigma n nx 1 s 1 x 2 s 2 x 3 cdots nx n 1 cdots 1 k n k sigma k x n k 1 cdots nbsp 對比兩邊的x n k 1 displaystyle x n k 1 nbsp 項系數 有 1 k s k n 1 k 1 s k 1 s 1 1 k 2 s k 2 s 2 s 1 s k 1 s k 1 k n k s k displaystyle 1 k sigma k cdot n 1 k 1 sigma k 1 s 1 1 k 2 sigma k 2 s 2 cdots sigma 1 s k 1 s k 1 k n k sigma k nbsp 即得 參見 编辑冪和對稱多項式 初等對稱多項式 对称多项式 取自 https zh wikipedia org w index php title 牛頓恆等式 amp oldid 78788896, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,