牛奶凍曲線, 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑, 2019年7月20日, 請邀請適合的人士改善本条目, 更多的細節與詳情請參见討論頁, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年7月20日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 牛奶凍曲线, blancmange, curve, 又称为高木曲线, 因為在1901年由高木貞治所研究, 另外也稱为, takagi, landsberg, 曲线, 一種更一般化的曲線, 以高木貞. 此條目需要精通或熟悉相关主题的编者参与及协助编辑 2019年7月20日 請邀請適合的人士改善本条目 更多的細節與詳情請參见討論頁 此條目没有列出任何参考或来源 2019年7月20日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 牛奶凍曲线 blancmange curve 又称为高木曲线 因為在1901年由高木貞治所研究 另外也稱为 Takagi Landsberg 曲线 一種更一般化的曲線 以高木貞治和 Georg Landsberg 的名字命名 牛奶凍曲線也是 de Rham 曲线的特例 牛奶凍函數的圖形 目录 1 定義 2 性質 2 1 收斂與連續性 2 2 次可加性 2 3 拋物線 2 4 可微性定義 编辑定義域為單位區間的牛奶凍函數定義為 b x n 0 s 2 n x 2 n displaystyle b x sum n 0 infty s 2 n x over 2 n nbsp 其中 s textstyle s nbsp 是三角波函數 定義為 s x min n N x n displaystyle s x min n in mathbb N left x n right nbsp 而 Takagi Landsberg 曲線的定義是更一般化的 T w x n 0 w n s 2 n x displaystyle T w x sum n 0 infty w n s 2 n x nbsp 其中w displaystyle w nbsp 是一個變數使 w lt 1 displaystyle w lt 1 nbsp nbsp parameter w 2 3 nbsp parameter w 1 2 nbsp parameter w 1 3 nbsp parameter w 1 4 nbsp parameter w 1 8性質 编辑收斂與連續性 编辑 以w displaystyle w nbsp w lt 1 displaystyle w lt 1 nbsp 為參數無限和T w x displaystyle T w x nbsp 對所有x displaystyle x nbsp 絕對收斂 因為對所有x R displaystyle x in mathbb R nbsp 有0 s x 1 2 displaystyle 0 leq s x leq 1 2 nbsp 從而 n 0 w n s 2 n x 1 2 n 0 w n 1 2 1 1 w displaystyle sum n 0 infty w n s 2 n x leq frac 1 2 sum n 0 infty w n frac 1 2 cdot frac 1 1 w nbsp 以w displaystyle w nbsp 為參數的T w x displaystyle T w x nbsp 也是連續的 因為可以如下證明T w n x k 0 n w k s 2 k x textstyle T w n x sum k 0 n w k s 2 k x nbsp 均勻收斂到T w displaystyle T w nbsp T w x T w n x k n 1 w k s 2 k x w n 1 k 0 w k s 2 k n 1 x w n 1 2 1 1 w displaystyle left T w x T w n x right left sum k n 1 infty w k s 2 k x right left w n 1 sum k 0 infty w k s 2 k n 1 x right leq frac w n 1 2 cdot frac 1 1 w nbsp 對所有 x R displaystyle x in mathbb R nbsp 其值在n displaystyle n nbsp 夠大時可以任意的小 再根據均勻極限定理 英语 Uniform limit theorem T w displaystyle T w nbsp 連續 次可加性 编辑 T w displaystyle T w nbsp 具有次可加性 拋物線 编辑 當w 1 4 textstyle w frac 1 4 nbsp T w displaystyle T w nbsp 的圖形是拋物線 且用中點細分的構造方法曾被阿基米德描述 可微性 编辑 對所有0 lt w lt 1 2 displaystyle 0 lt w lt 1 2 nbsp T w displaystyle T w nbsp 在任意不是二进分数的x R displaystyle x in mathbb R nbsp 是可微的 且其結果是 T w x n 0 2 w n 1 x n 1 displaystyle T w x sum n 0 infty 2w n 1 x n 1 nbsp 其中 x n n Z 0 1 Z displaystyle x n n in mathbb Z in 0 1 mathbb Z nbsp 是x displaystyle x nbsp 的二進位表達式的序列 也就是滿足x n Z 2 n x n textstyle x sum n in mathbb Z 2 n x n nbsp 的序列 取自 https zh wikipedia org w index php title 牛奶凍曲線 amp oldid 55354733, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,