無窮元組合學

數學分支無窮元組合學（infinitary combinatorics），又稱組合集合論（combinatorial set theory），是將組合學的想法推廣到無窮集。研究對象有連續圖、集合論的樹、拉姆齊定理在無窮集的推廣、馬丁公理。在2010年，本分支的開展的研究還有：連續統上的組合學^[1]、奇異基數（英语：Regular cardinal）後繼上的組合學^[2]。

無窮集的拉姆齊理論

設${\displaystyle \kappa ,\ \lambda }$ 為序數，${\displaystyle m}$ 為基數，${\displaystyle n}$ 為正整數。Erdős & Rado (1956)引入記號

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{n}}$ 

作為下列命題的速記：

若將${\displaystyle \kappa }$ 所有${\displaystyle n}$ 元子集的集合${\displaystyle [\kappa ]^{n}}$ ，分劃為${\displaystyle m}$ 份，則有一份包含序型為${\displaystyle \lambda }$ 的同質集。

所謂同質集，意思是${\displaystyle \kappa }$ 的子集，且其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆在同一個分塊中。也可以用染色的說法：

若有${\displaystyle m}$ 種色，並將${\displaystyle \kappa }$ 的每個${\displaystyle n}$ 元子集，各染一種色，則必有序型為${\displaystyle \lambda }$ 的同色集，即其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆同色。

當${\displaystyle m}$ 為${\displaystyle 2}$ 時，可省略不寫。

假設選擇公理（AC），則不存在序數${\displaystyle \kappa }$ 使得${\displaystyle \kappa \rightarrow (\omega )^{\omega }}$ 。此即上段取${\displaystyle n}$ 有限的原因。雖然不允許${\displaystyle n}$ 為無窮大，但仍可以同時考慮任意大的${\displaystyle n}$ 。符號

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda )_{m}^{<\omega }}$ 

表示命題「若將${\displaystyle \kappa }$ 的所有有限子集染成${\displaystyle m}$ 種色，則有序型為${\displaystyle \lambda }$ 的子集${\displaystyle X}$ ，使得其對每個${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle X}$ 的所有${\displaystyle n}$ 元子集皆同色。」（但不同的${\displaystyle n}$ 之間，無需同色。）同樣，當${\displaystyle m}$ 為${\displaystyle 2}$ 時，可省略不寫。

還有變式： ${\displaystyle \kappa \rightarrow (\lambda ,\mu )^{n}}$  表示「若將${\displaystyle \kappa }$ 的所有${\displaystyle n}$ 元子集染成紅、藍兩色，則或有序型為${\displaystyle \lambda }$ 的子集，其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆為紅，或有序型為${\displaystyle \mu }$ 的子集，其所有${\displaystyle n}$ 元子集皆為藍。」

可以此記號表示的命題有：（下設${\displaystyle \kappa }$ 為基數）

${\displaystyle \aleph _{0}\rightarrow (\aleph _{0})_{k}^{n}}$ 對所有有限的${\displaystyle n,k}$ 成立（拉姆齊定理）。

${\displaystyle \beth _{n}^{+}\rightarrow (\aleph _{1})_{\aleph _{0}}^{n+1}}$ （艾狄胥－雷多定理（英语：Erdős–Rado theorem））。

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (\kappa ^{+})^{2}}$ （謝爾賓斯基定理）

${\displaystyle 2^{\kappa }\not \rightarrow (3)_{\kappa }^{2}}$ 

${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa ,\aleph _{0})^{2}}$  (艾狄胥－杜什尼克－米勒定理（英语：Erdős–Dushnik–Miller theorem））。

在無選擇（choiceless，即選擇公理不成立）的宇集中，上標為無窮的分劃性質有可能成立。有部分是決定公理（AD）的推論，例如，當勞·馬丁（英语：Donald A. Martin）證明，AD推出

${\displaystyle \aleph _{1}\rightarrow (\aleph _{1})_{2}^{\aleph _{1}}.}$ 

大基數

主条目：大基數

一些大基數性質是用拉姆齊性質定義，如：

• 弱緊基數（英语：Weakly compact cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{2}}$ ；
• α艾狄胥基數（英语：Erdős cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 是滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\alpha )^{\omega }}$ 的最小基數；
• 拉姆齊基數（英语：Ramsey cardinal）${\displaystyle \kappa }$ 滿足${\displaystyle \kappa \rightarrow (\kappa )^{\omega }}$ 。

參考文獻

1. Blass, Andreas. Ch. 6: Combinatorial Cardinal Characteristics of the Continuum [第6章：連續統的組合基數特徵]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 （英语）. 
2. Eisworth, Todd. Ch. 15: Successors of Singular Cardinals [第15章：奇異基數的後繼]. Foreman, Matthew; Kanamori, Akihiro (编). Handbook of Set Theory [集合論手冊]. Springer. 2010 （英语）. 

• Dushnik, Ben; Miller, E. W., Partially ordered sets [偏序集], American Journal of Mathematics, 1941, 63 (3): 600–610, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371374, MR 0004862, doi:10.2307/2371374, hdl:10338.dmlcz/100377   （英语） 
• Erdős, Paul; Hajnal, András, Unsolved problems in set theory [集合論的未解問題], Axiomatic Set Theory ( Univ. California, Los Angeles, Calif., 1967) [公理化集合論（加州大學，洛杉磯，加州，1967）], Proc. Sympos. Pure Math, XIII Part I, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.: 17–48, 1971, MR 0280381 （英语） 
• Erdős, Paul; Hajnal, András; Máté, Attila; Rado, Richard, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals [組合集合論：基數的分劃關係], Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 106, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1984, ISBN 0-444-86157-2, MR 0795592 （英语） 
• Erdős, P.; Rado, R., A partition calculus in set theory [集合論的分劃算數], Bull. Amer. Math. Soc., 1956, 62 (5): 427–489, MR 0081864, doi:10.1090/S0002-9904-1956-10036-0   （英语） 
• Kanamori, Akihiro. The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from their Beginnings [更高的無窮：從源流談集合論的大基數] second. Springer. 2000. ISBN 3-540-00384-3 （英语）. 
• Kunen, Kenneth, Set Theory: An Introduction to Independence Proofs [集合論：獨立性證明導論], Amsterdam: North-Holland, 1980, ISBN 978-0-444-85401-8 （英语）