演员模型的指称语义

演员模型的指称语义（Denotational semantics of the Actor model）是演员的指称域理论的研究主题。这个主题的历史发展参见指称语义的历史。

演员不动点语义

计算系统语义的指称理论关心找到表示系统作为的数学对象。这个理论利用了计算数学域。这种计算域的例子是偏函数和演员事件图场景。

关系 x≤y 意味着 x 可以计算演进为 y。如果指称是偏序函数，比如 f≤g 可以意味着 f 一致于 g 在 f 在其上定义的所有值上。如果指称是演员事件图场景，x≤y 意味着满足 x 的系统可以演进到满足 y 的一个系统。

计算域有下列性质:

1. 底存在。域有最小元素指示为 ⊥ 使得对于所有域中元素 x 有 ⊥≤x。
2. 极限存在。随着计算继续，指称应当变得更好并有一个极限，使得如果有 ${\displaystyle \forall i\in \omega }$  ${\displaystyle x_{i}\leq x_{i+1}}$ ，则最小上界 ${\displaystyle \vee _{i\in \omega }x_{i}}$  应当存在。这个性质叫做 ω-完全性。
3. 有限元素是可数的。一个元素 x 是有限的(在域文献中也叫做孤立的)，当且仅当只要 A 是有向的，∨A 存在并且 ${\displaystyle x\leq \vee A}$ ，就存在 ${\displaystyle a\in A}$  有着 ${\displaystyle x\leq a}$ 。换句话说，x 是有限的，如果必须通过 x 来赶上或通过极限过程来超过 x。
4. 所有元素都是有限元素的可数递增序列的最小上界。在直觉上这意味着所有元素都可以通过在其中所有进步(progression)都是有限的一个计算过程来到达。
5. 域是向下闭合的。

由系统 S 指示的数学指称通过构造从叫做 ⊥_S 的空指称递增更好的逼近来找到 ，使用某个逼近定义函数 progression_s(进步)如下这样构造 S 的指称(意义)的 [Hewitt 2006b]:

Denote_s ≡ ∨_i∈ω progression_sⁱ(⊥_S)。

期望 progression_s 是单调的，就是说，如果 x≤y 则 progression_s(x)≤progression_s(y)。更一般的说，我们期望

如果 ∀i∈ω x_i≤x_i+1，则 progression_s(∨_i∈ω x_i) = ∨_i∈ω progression_s(x_i)

最后陈述的 progression_s 的性质叫做 ω-连续性。

指称语义的中心问题是刻画什么时候可能依据 Denote_s 的等式建立指称(意义)。计算域理论的基本定理就是如果 progression_s 是 ω-连续的，则 Denote_s 存在。

从 progression_s 的 ω-连续性得出

progression_s(Denote_s) = Denote_s

上述等式引出了术语 Denote_s 是 progression_s 的不动点。

进一步的，这个不动点是 progression_s 的最小不动点。

在下节中给出函数式程序的指称语义作为不动点语义的例子。

阶乘函数的例子

考虑如下定义在所有数上的 factorial 函数:

factorial ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*factorial(n-1)

factorial 的 graph 是定义了 factorial 的所有有序对的集合，有序对的第一个元素是参数而第二个元素是值，例如: graph(factorial) = {<n, factorial(n)>|n∈ω} = {<0,1>,<1,1>,<2,2>,<3,6>,<4,24>…}， factorial 程序的指称(意义) Denote_factorial 被构造如下:

Denote_factorial = graph(factorial) = ∪_i∈ω progression_factorialⁱ({})

这里的

progression_factorial(g) ≡ λ(n)if (n==0)then 1 else n*g(n-1)

注意: progression_factorial 是不动点算子(参见上节中的定义)，它的最小不动点是 Denote_factorial，就是

Denote_factorial = progression_factorial(Denote_factorial)

还有 progression_factorial 是 ω-连续的(参见上节中的定义)。

从演员语义得出 Scott 连续性

演员模型为得出 Dana Scott 的函数的指称语义(在前面章节关于 factorial 的例子所展示的)提供了基础，Carl Hewitt 和 Henry Baker [1977] 首次给出了定理证明:

如果一个演员 f 表现得如同数学函数，则 progression_f 是 Scott 连续函数，其最小不动点是

graph(f) = ∪_i∈ω progression_fⁱ({})

这里的

progression_f(G)≡{<x, y>|<x, y>∈graph(f) 和 immediate-descendants_f(<x, y>)⊆G}

Hewitt 和 Baker 的论文在定义 immediate-descendants_f 时的缺陷由 Will Clinger [1981] 修正。

编程语言中的复合性

主条目：复合性原理

编程语言的指称语义的重要方面是复合性，通过它程序的指称可以从它的各个部分的指称来构造。例如，考虑表达式 "<expression₁> + <expression₂>"。在这种情况下复合性是依据 <expression₁> 和 <expression₂> 的意义而为 "<expression₁> + <expression₂>" 提供意义。

引用

• Irene Greif. Semantics of Communicating Parallel Professes MIT EECS Doctoral Dissertation. August 1975.
• Joseph E. Stoy, Denotational Semantics: The Scott-Strachey Approach to Programming Language Semantics. MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1977. (A classic if dated textbook.)
• Gordon Plotkin. A powerdomain construction SIAM Journal of Computing September 1976.
• Edsger Dijkstra. A Discipline of Programming Prentice Hall. 1976.
• Krzysztof R. Apt, J. W. de Bakker. Exercises in Denotational Semantics MFCS 1976: 1-11
• J. W. de Bakker. Least Fixed Points Revisited Theor. Comput. Sci. 2(2): 155-181 (1976)
• Carl Hewitt and Henry Baker Actors and Continuous Functionals Proceeding of IFIP Working Conference on Formal Description of Programming Concepts. August 1–5, 1977.
• Henry Baker. Actor Systems for Real-Time Computation MIT EECS Doctoral Dissertation. January 1978.
• Michael Smyth. Power domains Journal of Computer and System Sciences. 1978.
• C.A.R. Hoare. Communicating Sequential Processes CACM. August, 1978.
• George Milne and Robin Milner. Concurrent processes and their syntax JACM. April, 1979.
• Nissim Francez, C.A.R. Hoare, Daniel Lehmann, and Willem-Paul de Roever. Semantics of nondeterminism, concurrency, and communication Journal of Computer and System Sciences. December 1979.
• Nancy Lynch and Michael Fischer. On describing the behavior of distributed systems in Semantics of Concurrent Computation. Springer-Verlag. 1979.
• Jerald Schwartz Denotational semantics of parallelism in Semantics of Concurrent Computation. Springer-Verlag. 1979.
• William Wadge. An extensional treatment of dataflow deadlock Semantics of Concurrent Computation. Springer-Verlag. 1979.
• Ralph-Johan Back. Semantics of Unbounded Nondeterminism ICALP 1980.
• David Park. On the semantics of fair parallelism Proceedings of the Winter School on Formal Software Specification. Springer-Verlag. 1980.
• Will Clinger, Foundations of Actor Semantics. MIT Mathematics Doctoral Dissertation, June 1981. (Quoted by permission of author.)
• Carl Hewitt (2006a). The repeated demise of logic programming and why it will be reincarnated What Went Wrong and Why: Lessons from AI Research and Applications. Technical Report SS-06-08. AAAI Press. March 2006.
• Carl Hewitt (2006b) What is Commitment? Physical, Organizational, and Social （页面存档备份，存于互联网档案馆） COIN@AAMAS. 2006.