準素分解

在交換代數中，準素分解將一個交換環的理想（或模的子模）唯一地表成準素理想（或準素子模）之交。這是算術基本定理的推廣，能用以處理代數幾何中的情況。

陳述

設 ${\displaystyle R}$  為交換諾特環，${\displaystyle M}$  為有限生成之 ${\displaystyle R}$ -模。對任一子模 ${\displaystyle N\subset M}$ ，存在有限多個準素子模 ${\displaystyle M_{i}}$  使得

${\displaystyle N=\bigcap _{i}M_{i}}$ 

事實上，可以要求此分解是最小的（即：無法省去任何 ${\displaystyle M_{i}}$ ），且諸準素子模 ${\displaystyle M_{i}}$  對應到的素理想彼此相異。滿足上述條件的準素分解是唯一確定的。

最常見的情形是取 ${\displaystyle M=R}$ ，並取 ${\displaystyle N=I}$  為一理想。任取一準素分解 ${\displaystyle I=\bigcap _{i}Q_{i}}$ ，這些 ${\displaystyle Q_{i}}$  中的極小者稱為 ${\displaystyle I}$  的孤立素理想，否則稱為鑲嵌素理想；孤立素理想是 ${\displaystyle I\subset R}$  的一組不變量。

幾何意義

在幾何上，${\displaystyle I}$  的孤立素理想對應到仿射概形 ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$  的閉子集 ${\displaystyle V(I)}$  之不可約成份。

歷史

伊曼紐·拉斯克在1905年證明了${\displaystyle R}$  為多項式環的情形。埃米·諾特在1921年證明上述的推廣版本。職是之故，準素分解的存在性也被稱為拉斯克-諾特定理。

文獻

• M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra , Addison-Wesley (1969)
• O. Zariski, P. Samuel, Commutative algebra, Volume 1 and 2, Springer (1975)
• N. Bourbaki, Elements of mathematics. Commutative algebra , Addison-Wesley (1972)
• V. T. Markov, Primary Decomposition, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4