混合图

混合图（mixed graph）G = (V, E, A)是由顶点 （节点）的集合V、无向边的集合E和有向边的集合A所组成的数学对象。^[1]

定义和标识

 

混合图的实例

考虑一对相邻的顶点 ${\displaystyle u,v\in V}$ 。有向边，是一个有方向的边，其可以表示为 ${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}}$  或 ${\displaystyle (u,v)}$  (即该有向边为由${\displaystyle u}$ 指向${\displaystyle v}$ )。^[2] 同样地，无向边，是一个没有方向的边，其可以表示为 ${\displaystyle uv}$  或 ${\displaystyle [u,v]}$ 。^[2]

在以下给出的应用实例中，我们不考虑混合图中包含自环或多重边的情况。

混合图或混合循环中的循环，是由有向边在混合图中构成的循环。^[1]如果不能从有向边形成循环，则认为混合图的方向是无环的。^[1]如果一个混合图的所有方向都是无环的，我们称它为有向无环图。^[1]

着色

 

混合图实例

混合图着色可以看作是使用k种不同颜色(其中k是正整数)对混合图顶点进行标记或赋值。^[3]通过边连接的两端顶点必须颜色不同。颜色可以由1到k的数字表示，对于有向边，箭头后端的颜色对应数字必须小于箭头前端的颜色对应数字。^[3]

实例

例如右图，我们可用于混合图的k着色方式为 ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ 。由于 ${\displaystyle u}$  和 ${\displaystyle v}$  之间有边连接，他们必须用不同颜色进行标记(如将${\displaystyle u}$  和 ${\displaystyle v}$  分别标记为1和2)。 ${\displaystyle v}$  和${\displaystyle w}$ 之间为有向边连接，因此箭头后端${\displaystyle v}$ 的颜色标记必须小于箭头前段${\displaystyle w}$ 的颜色标记。

强着色和弱着色

混合图的k着色方式是一个函数。

${\displaystyle c:V\rightarrow [k]}$ 

其中${\displaystyle [k]={1,2,\dots ,k}}$ ，当${\displaystyle uv\in E}$ （无向边）时${\displaystyle c(u)\neq c(v)}$ ，当${\displaystyle {\overrightarrow {uv}}\in A}$ （有向边）时${\displaystyle c(u)\leq c(v)}$ 。^[1]再回到实例中，这意味着我们可以将有向边的前端和后端 ${\displaystyle (v,w)}$ 均标记为正整数2。

存在

假设混合图为G，能否做到将其完全着色是不确定的。为了使混合图有一个k着色方式，图中不能包含任何有向循环。^[2] 如果这样的k着色方式存在，那么我们为了给整个图着色的最小着色数（k值）可记为${\displaystyle \chi (G)}$ 。^[2] 我们可以通过构建k的多项式函数来计算合理的k着色方式的数量，其被称为图G的着色多项式（可用无向图的着色多项式来类比），其定义式为${\displaystyle \chi _{G}(k)}$ 。^[1]

计算弱色多项式

塔特多项式中的删除–收缩方法可用于计算弱色多项式的混合图。这个方法涉及删除(或移除)有向或无向边，合并（或关联）与该无向或有向边相连的其余顶点形成一个顶点。^[4] 在删除无向边${\displaystyle e}$ 之后，从之前的混合图 ${\displaystyle G=(V,E,A)}$  可得到新的混合图 ${\displaystyle (V,E-e,A)}$ 。^[4] 可将删除无向边${\displaystyle e}$ 之后剩余的边表示为 ${\displaystyle G-e}$ 。类似地，在删除有向边${\displaystyle a}$ 之后，将剩余的边表示为${\displaystyle G-a}$ ，可获得新的混合图${\displaystyle (V,E,A-a)}$ 。^[4] 同样，我们可以将合并${\displaystyle e}$ 和${\displaystyle a}$ 分别表示为${\displaystyle G/e}$  和 ${\displaystyle G/a}$ 。^[4] 根据以上给出的条件，我们得到以下方程来计算混合图的着色多项式：^[4]

1. ${\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-e}(k)-\chi _{G/e}(k)}$ ,^[5]
2. ${\displaystyle \chi _{G}(k)=\chi _{G-a}(k)+\chi _{G/a}(k)-\chi _{G_{a}}(k)}$ .^[5]

应用

调度问题

混合图可用于对车间调度问题进行建模，例如在一定的时间限制下执行一系列任务的问题。在这类问题中，无向边可用于设定两个任务不兼容(不能同时执行)的约束。有向边可用于优先级约束，即其中一个任务必须先于另一个任务执行。用这种方法从调度问题的角度定义的图称为析取图。混合图着色问题可用于规划执行所有任务的最小长度。^[2]

贝叶斯推理

混合图也用作贝叶斯推理的概率图模型。下文中无环混合图(没有有向边循环的图)也称为链图。这些图的有向边用来表示两个事件之间的因果关系，其中第一个事件的结果影响第二个事件的概率。相反的是，无向边则表示两个事件之间的非因果关系。链图的无向子图的连通分量称为链。一个链图可以通过构造它的道德图从而转化为一个无向图，链图可以在其含有同一链的顶点对之间添加无向边，然后忽略有向边的方向从而形成无向图。

注释

1. Beck 等人 (2013, p. 1)
2. Ries (2007, p. 1)
3. Hansen，Kuplinsky & de Werra (1997, p. 1)
4. Beck 等人 (2013, p. 4)
5. Beck 等人 (2013, p. 5)

参考文献

• Beck, M.; Blado, D.; Crawford, J.; Jean-Louis, T.; Young, M., On weak chromatic polynomials of mixed graphs, Graphs and Combinatorics, 2013, arXiv:1210.4634  , doi:10.1007/s00373-013-1381-1 .
• Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J., Probabilistic Networks and Expert Systems: Exact Computational Methods for Bayesian Networks, Springer-Verlag New York: 27, 1999 [2019-05-21], ISBN 0-387-98767-3, doi:10.1007/0-387-22630-3, （原始内容于2020-06-12） 
• Hansen, Pierre; Kuplinsky, Julio; de Werra, Dominique, Mixed graph colorings, Mathematical Methods of Operations Research, 1997, 45 (1): 145–160, MR 1435900, doi:10.1007/BF01194253 .
• Ries, B., Coloring some classes of mixed graphs, Discrete Applied Mathematics, 2007, 155 (1): 1–6, MR 2281351, doi:10.1016/j.dam.2006.05.004 .

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Mixed Graph. MathWorld.