海涅, 康托尔定理, 以愛德華, 海涅和乔治, 康托尔命名, 说明如果m是一个紧度量空间, n是一个度量空间, 则每一个连续函数, 都是一致连续的, 特别地, 如果f, r是一个连续函数, 则它是一致连续的, 目录, 证明, 证明, 參考文獻, 外部链接证明, 编辑假设f在紧度量空间m上连续, 但不一致连续, 则以下命题, displaystyle, forall, varepsilon, quad, exists, delta, nbsp, 使得对于所有m内的x和y, 都有d, displaystyle, del. 海涅 康托尔定理 以愛德華 海涅和乔治 康托尔命名 说明如果M是一个紧度量空间 N是一个度量空间 则每一个连续函数 f M N 都是一致连续的 特别地 如果f a b R是一个连续函数 则它是一致连续的 目录 1 证明 1 2 证明 2 3 參考文獻 4 外部链接证明 1 编辑假设f在紧度量空间M上连续 但不一致连续 则以下命题 e gt 0 d gt 0 displaystyle forall varepsilon gt 0 quad exists delta gt 0 nbsp 使得对于所有M内的x和y 都有d x y lt d r f x f y lt e displaystyle d x y lt delta Rightarrow rho f x f y lt varepsilon nbsp 的否定是 e 0 gt 0 displaystyle exists varepsilon 0 gt 0 nbsp 使得 d gt 0 x y M displaystyle forall delta gt 0 exists x y in M nbsp 使得 d x y lt d displaystyle d x y lt delta nbsp 且r f x f y e 0 displaystyle rho f x f y geq varepsilon 0 nbsp 其中d和r displaystyle rho nbsp 分别是度量空间M和N上的距离函数 选择两个序列xn和yn 使得 d x n y n lt 1 n displaystyle d x n y n lt frac 1 n nbsp 且r f x n f y n e 0 displaystyle rho f x n f y n geq varepsilon 0 nbsp 由于度量空间是紧致的 根据波尔查诺 魏尔施特拉斯定理 序列xn存在一个收敛的子序列x n k displaystyle x n k nbsp 而d x n k y n k lt 1 n k 0 displaystyle d x n k y n k lt frac 1 n k to 0 nbsp 故x n k displaystyle x n k nbsp 和y n k displaystyle y n k nbsp 收敛于相同的点 又因为f是连续的 所以f x n k displaystyle f x n k nbsp 和f y n k displaystyle f y n k nbsp 收敛于相同的点 与 式矛盾 证明 2 编辑 1 设 f 是从一个紧度量空间 M dM 到一个度量空间 N dN 的连续函数 欲证明 f 是一致连续的 设给定了 e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp 于是对 M displaystyle M nbsp 中的每一个点 a displaystyle a nbsp 都存在一个与 a displaystyle a nbsp 有关的 d displaystyle delta nbsp 使得 d N f x f a lt e 2 x B M a d displaystyle d N f x f a lt frac varepsilon 2 forall x in B M a delta text nbsp 考虑由半径为 d 2 displaystyle delta 2 nbsp 的球 B M a d 2 displaystyle B M a delta 2 nbsp 构成的集族 这族球覆盖 M displaystyle M nbsp 而且因为 M displaystyle M nbsp 是紧的 所以这些球中有有限个也覆盖 M displaystyle M nbsp 比方说 M k 1 m B M a k r k 2 displaystyle M bigcup k 1 m B M left a k frac r k 2 right qquad text nbsp 在任何一个两倍半径的球 B M a k r k displaystyle B M left a k r k right nbsp 中 我们有 d N f x f a k lt e 2 x B M a k r k displaystyle d N left f x f left a k right right lt frac varepsilon 2 forall x in B M left a k r k right text nbsp 设 d min r 1 2 r m 2 displaystyle delta min r 1 2 cdots r m 2 nbsp 欲证明这个 d displaystyle delta nbsp 满足一致连续性定义中的要求 对 M displaystyle M nbsp 中的两个点 x displaystyle x nbsp 和 y displaystyle y nbsp 满足条件 d M x y lt d displaystyle d M x y lt delta nbsp 由 displaystyle text nbsp 有某个球 B M a k r k 2 displaystyle B M left a k r k 2 right nbsp 包含 x displaystyle x nbsp 所以 d N f x f a k lt e 2 displaystyle d N left f x f left a k right right lt frac varepsilon 2 nbsp 由三角不等式可得 d M y a k d M y x d M x a k lt d r k 2 r k 2 r k 2 r k displaystyle d M left y a k right leqslant d M y x d M left x a k right lt delta frac r k 2 leqslant frac r k 2 frac r k 2 r k nbsp 因而 y B M a k r k displaystyle y in B M left a k r k right nbsp 所以也有 d N f y f a k lt e 2 displaystyle d N left f y f left a k right right lt varepsilon 2 nbsp 再次使用三角不等式就可以发现 d N f x f y d N f x f a k d N f a k f y lt e 2 e 2 e displaystyle d N f x f y leqslant d N left f x f left a k right right d N left f left a k right f y right lt frac varepsilon 2 frac varepsilon 2 varepsilon text nbsp 參考文獻 编辑 存档副本 2022 10 16 原始内容存档于2022 10 15 外部链接 编辑Heine Cantor theorem PlanetMath Proof of Heine Cantor theorem PlanetMath 取自 https zh wikipedia org w index php title 海涅 康托尔定理 amp oldid 76651302, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,