正规序

在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按正规序排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积^[1]。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

记号

令${\displaystyle {\hat {O}}}$ 為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將${\displaystyle {\hat {O}}}$ 按照正规序重新排列之后得到的算符用${\displaystyle {\mathcal {N}}({\hat {O}})}$  或 ${\displaystyle {\mathopen {:}}{\hat {O}}{\mathclose {:}}}$ 表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

玻色子

玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

单个玻色子

单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$ ：玻色子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {b}}}$ ：玻色子的湮灭算符

则有：

${\displaystyle \left[{\hat {b}}^{\dagger },{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}\right]_{-}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]_{-}=1}$ 

其中 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{-}\equiv AB-BA}$  表示两个算符的对易子。

例子

1. 最简单的例子是 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$  的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }{\hat {b}}}$ 的正规序就是它自身：

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$ 

2. 第二个例子是 ${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }}$  的正规序，

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}.}$ 

这里，按照正规序的要求，产生算符 ${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }}$  放到了湮灭算符 ${\displaystyle {\hat {b}}}$ 的左边。由玻色子算符的对易关系有：

${\displaystyle {\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }-{:\,}{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }{\,:}=1.}$ 

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

${\displaystyle {:\,}{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}{\,:}={\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}^{\dagger }\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}\,{\hat {b}}=({\hat {b}}^{\dagger })^{3}\,{\hat {b}}^{4}.}$ 

多个玻色子

对于 ${\displaystyle N}$  个不同的玻色子来说，有 ${\displaystyle 2N}$  个算符：

• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}^{\dagger }}$ ：第 ${\displaystyle i}$  个玻色子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {b}}_{i}}$ ：第 ${\displaystyle i}$  个玻色子的湮灭算符

其中 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$ .

它们满足下列对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i}^{\dagger },{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\right]_{-}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}^{\dagger }\right]_{-}=\delta _{ij}}$ 

其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ，${\displaystyle \delta _{ij}}$  是克罗内克函数。

例子

1.对于两个玻色子 (${\displaystyle N=2}$ ) ，有：

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$ 

${\displaystyle :{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}}$ 

2. 对三个玻色子 (${\displaystyle N=3}$ ) ，有：

${\displaystyle :{\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}:\,={\hat {b}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}}$ 

由于 ${\displaystyle {\hat {b}}_{2}\,{\hat {b}}_{3}={\hat {b}}_{3}\,{\hat {b}}_{2}}$  （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

费米子

费米子服从费米-狄拉克统计。

单个费米子

单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：

• ${\displaystyle {\hat {f}}^{\dagger }}$ ：费米子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {f}}}$ ：费米子的湮灭算符

它们满足下面的反对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {f}}^{\dagger },{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}\right]_{+}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {f}},{\hat {f}}^{\dagger }\right]_{+}=1}$ 

其中 ${\displaystyle \left[A,B\right]_{+}\equiv AB+BA}$  是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

例子

1. 最简单的例子是：

${\displaystyle :{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$ 

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}}$ 

由费米子算符的反对易关系有：

${\displaystyle {\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }-:{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }:=1.}$ 

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

${\displaystyle :{\hat {f}}\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}{\hat {f}}^{\dagger }:\,={\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}^{\dagger }\,{\hat {f}}\,{\hat {f}}=0}$ 

多个费米子

${\displaystyle N}$  个费米子有 ${\displaystyle 2N}$  个产生湮灭算符，设：

• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}^{\dagger }}$ 为第 ${\displaystyle i}$  个费米子的产生算符
• ${\displaystyle {\hat {f}}_{i}}$ 为第 ${\displaystyle i}$ 个费米子的湮灭算符

其中 ${\displaystyle i=1,\ldots ,N}$ .

它们满足下列反对易关系：

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i}^{\dagger },{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}\right]_{+}=0}$ 

${\displaystyle \left[{\hat {f}}_{i},{\hat {f}}_{j}^{\dagger }\right]_{+}=\delta _{ij}}$ 

其中 ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,N}$ ， ${\displaystyle \delta _{ij}}$  是克罗内克函数。

例子

1. 对两个费米子 (${\displaystyle N=2}$ ) ，有：

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$ 

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$ 

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{2}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}}$ 

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 (${\displaystyle N=3}$ ) ，有：

${\displaystyle :{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$ 

类似地有：

${\displaystyle :{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}:\,=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}}$ 

${\displaystyle :{\hat {f}}_{3}{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{1}^{\dagger }:\,={\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{3}\,{\hat {f}}_{2}=-{\hat {f}}_{1}^{\dagger }\,{\hat {f}}_{2}\,{\hat {f}}_{3}}$ 

量子场论中的应用

任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，${\displaystyle \langle 0|{\hat {a}}^{\dagger }}$ 以及${\displaystyle {\hat {a}}|0\rangle }$ 都是0。

这里 ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$  和 ${\displaystyle {\hat {a}}}$  分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

参考文献

1. 尹道乐，尹澜. 2. 凝聚态量子理论. ISBN 9787301161609. 

• F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
• S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
• T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268