尤拉臨界負載

尤拉临界負载是细长柱體突然弯曲或挫曲時的压缩負载。公式如下： ^[1]

图 1：钢的临界应力与細长比，E = 200 GPa，降伏强度 = 240 MPa。

${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{(KL)^{2}}}}$

其中

${\displaystyle P_{cr}}$, 尤拉临界負载（柱上的纵向压缩負载），

${\displaystyle E}$ ，柱體材料的杨氏模數，

${\displaystyle I}$ ，柱體横截面的最小面积惯性矩，

${\displaystyle L}$, 柱體的无支撑长度，

${\displaystyle K}$ ,柱體有效长度係數

这个公式是在西元1757年由瑞士数学家莱昂哈德·尤拉所推導出來。临界負载是不会引起横向挠曲（挫曲）的最大負载。对于小于临界負载的應力，柱将保持笔直。对于大于临界負载的應力，柱将有横向形變產生。恰等於临界負载的應力，使柱处于不稳定平衡状态。超过临界载荷的载荷会导致柱因挫曲而失效。随着負载增加超过临界負载，横向形變量会增加，直到它可能在其他模式下失效，例如材料降伏。超出临界負载的應力不在本文的讨论範圍。

大約在1900年， J. B. Johnson 提出在低細長比下，應該使用不同的方程式。

模型假设

 

图 2：尤拉临界負载的柱體有效长度係数。在实际设计時，建议增加為如上图所示的係数。

在推导尤拉公式時所做的假设如下： ^[2]

1. 柱體材料均质且具等向性。
2. 柱體受到的压缩負载仅有轴向。
3. 柱子没有初始应力。
4. 柱子的重量被忽略。
5. 柱子最初是直的（轴向負载没有偏移）。
6. 销接头无摩擦（无力矩约束），若是固定端則無刚性（无旋转偏转）。
7. 柱子的横截面在其整个长度上是均匀、不改變的。
8. 與弯曲應力相比，直接应力非常小（材料仅在弹性应变范围内被压缩）。
9. 細長比很高，与柱的横截面尺寸相比，柱的长度非常長。
10. 该柱仅因挫曲而失效，即柱中的压应力不超过降伏强度${\displaystyle \sigma _{y}}$  （见图1）：

    ${\displaystyle \sigma ={\frac {P_{cr}}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(L_{e}/r)^{2}}}<\sigma _{y}}$ 

其中：

${\textstyle {\frac {L_{e}}{r}}}$ , 细长比,

${\displaystyle L_{e}=KL}$  ，有效长度，

${\textstyle r={\sqrt {\operatorname {I} \over \operatorname {A} }}}$  ,迴转半径,

${\displaystyle I}$ , 面积惯性矩,

${\displaystyle A}$ , 横截面面積。

对于细长柱體，临界挫曲应力通常低于降伏应力。相比之下，坚固的柱子可能具有高于降伏的临界挫曲应力，即它會在挫曲之前就先降伏。

数学推导

銷接端點的柱體

以下模型适用于两端為简支承的柱子（ ${\displaystyle K=1}$  ）。

首先，我们要注意銷接端没有反作用力，所以柱的任何横截面也没有剪力。没有应力的原因可以从对称性（所以应力应该在相同的方向）和力矩平衡（所以应力应该在相反的方向）得到。

使用圖 3 右側的自由体图，并將点 x 的力矩加總：

${\displaystyle \Sigma M=0\Rightarrow M(x)+Pw=0}$ 

其中 w 是横向變形。

根据尤拉-伯努利樑理论，樑的挠度与其弯矩的關係式为：

${\displaystyle M=-EI{\frac {\mathrm {d} ^{2}w}{\mathrm {d} x^{2}}}}$  ,

 

图 3：挫曲負载作用在兩端為銷接點的柱體

让${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$  ， 所以：

${\displaystyle EI{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+Pw=0}$ 

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}+\lambda ^{2}w=0}$ 

我们得到一个经典的齐次二阶常微分方程。

该方程的通解为： ${\displaystyle w(x)=A\cos(\lambda x)+B\sin(\lambda x)}$  ， 這裡的 ${\displaystyle A}$  和 ${\displaystyle B}$  常数由边界条件所定義，它们是：

• 左端點固定${\displaystyle \rightarrow w(0)=0\rightarrow A=0}$ 
• 右端點固定${\displaystyle \rightarrow w(l)=0\rightarrow B\sin(\lambda l)=0}$ 

 

图 4：前三种挫曲負载模態

如果${\displaystyle B=0}$  ，没有弯矩存在，我们得到了平凡解${\displaystyle w(x)=0}$  。

但是，从其他解 ${\displaystyle \sin(\lambda l)=0}$  我们得到 ${\displaystyle \lambda _{n}l=n\pi }$  ， 其中${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ 

再加上前述的 ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$  ，各种临界負载是：

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}$  ， 为了${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$ 

并取决于 ${\displaystyle n}$  的值 ，产生不同的挫曲模態^[3] ，如图 4 所示。 n=0 时的負载和模態是非挫曲模態。

理论上任何挫曲模態都有可能出現，但在缓慢施加負载的情况下，可能只会产生第一种模态形状。

因此，銷端柱的尤拉临界負载為：

${\displaystyle P_{cr}={\frac {\pi ^{2}EI}{l^{2}}}}$ 

得到柱的第一模态挫曲形状为：

${\displaystyle w(x)=B\sin \left({\pi \over l}x\right)}$  .

通常的做法

 

图 5：作用在柱上的力與力矩。

^[4]樑軸向的微分方程：

${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+{\frac {P}{EI}}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}={\frac {q}{EI}}}$ 

对于仅具有轴向負载的柱，横向負载 ${\displaystyle q(x)}$  消失，再代入 ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {P}{EI}}}$  可得到：

${\displaystyle {\frac {d^{4}w}{dx^{4}}}+\lambda ^{2}{\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}=0}$ 

这是一个齐次四阶微分方程，其通解为

${\displaystyle w(x)=A\sin(\lambda x)+B\cos(\lambda x)+Cx+D}$ 

四个常数 ${\displaystyle A,B,C,D}$  由兩端边界条件所决定的 ${\displaystyle w(x)}$  來得到。有以下三种情况：

1. 銷接端 (Pinned end)：

   ${\displaystyle w=0}$ 和${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$ 

2. 固定端 (Fixed end)：

   ${\displaystyle w=0}$ 和${\displaystyle {dw \over dx}=0}$ 

3. 自由端 (Free end)：

   ${\displaystyle M=0\rightarrow {d^{2}w \over dx^{2}}=0}$ 和${\displaystyle V=0\rightarrow {d^{3}w \over dx^{3}}+\lambda ^{2}{dw \over dx}=0}$ 

对于这些边界条件的每一种组合，都会得到一個特征值问题。藉由解决这些问题，我们得到了图 2 中所示每种條件下的尤拉临界負载值。

參見

• 挫曲
• 弯矩
• 弯曲 (力學)
• 尤拉-伯努利樑理论

参考資料

1. . mechanicalc.com. [2020-12-27]. （原始内容存档于2022-05-12）. 
2. . Engineering Tutorials. 2015-03-28 [2020-12-27]. （原始内容存档于2021-10-08） （英语）. 
3. (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2015-05-28）. 
4. Timoshenko, S. P.; Gere, J. M. Theory of Elastic Stability, 2 ed., McGraw-Hill. 1961.