極點分離

極點分離（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上电容器，希望將最低頻率的极点（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢^[1][2][3][4]。

舉例

 

圖1：在輸入和輸出之間有補償電容器C_C的運算放大器。運算放大器有輸入阻抗R_i和輸出阻抗R_o

 

圖2：用密勒定理轉換後的電路，將輔償電容轉換為輸入側的密勒電容，以及輸出側隨頻率變化的電流源

這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器C_C，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高^[5]。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗R_i以及電容C_i，其時間常數是C_i ( R_A || R_i )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻R_L和電容C_L，其時間常數是C_L ( R_o || R_L )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器C_C影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效应條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓${\displaystyle \ v_{a}}$ 的函數

${\displaystyle {\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,}$ 

其滾降（英语：roll-off）從頻率f₁開始

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}}$ 

其中的${\displaystyle \tau _{1}}$ 是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應C_C = 0 F時，是${\displaystyle {\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}}$ 。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓${\displaystyle \ v_{o}}$ 是由理想放大器的增益決定的

${\displaystyle \ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .}$ 

利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓${\displaystyle v_{\ell }}$ 相對於運算放大器輸入電壓${\displaystyle \ v_{i}}$ 的函數：

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$ ${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$ 

這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}}$ 

${\displaystyle =A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!}$ ${\displaystyle \cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!}$ ${\displaystyle \cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .}$ 

增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益A_v很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏著一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出R-C乘積C_L ( R_o || R_L )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}}$ 

（針對一個正的密勒電容，A_v為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

${\displaystyle {\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,}$ 

其中D_ω是ω的二次式：

${\displaystyle D_{\omega }\,\!}$  ${\displaystyle =[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!}$  ${\displaystyle \cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!}$  ${\displaystyle \ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!}$  ${\displaystyle \cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!}$  ${\displaystyle \ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .}$ 

上述的二次式可以改寫如下：

${\displaystyle \ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})}$ 

${\displaystyle =1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\ }$ 

其中${\displaystyle \tau _{1}}$  and ${\displaystyle \tau _{2}}$ 是D_ω公式中結合了電阻和電容的值。^[6]。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設${\displaystyle \tau _{1}}$ 是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設${\displaystyle \tau _{1}}$  >> ${\displaystyle \tau _{2}}$ （若要有良好的階躍響應，會需要${\displaystyle \tau _{1}}$  >> ${\displaystyle \tau _{2}}$ ，可以看以下的如何選擇C_C章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此D_ω的低頻特性為：

${\displaystyle {\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}}$ 

其中的C_M會用密勒效应重新定義為

${\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,}$ 

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設${\displaystyle \tau _{1}}$  >> ${\displaystyle \tau _{2}}$ ，可以確定${\displaystyle \tau _{1}}$ 。因為C_M很大，時間常數${\displaystyle {\tau }_{1}}$ 遠大於其原始值C_i ( R_A || R_i ).^[7]

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關${\displaystyle \tau _{1}}$  的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由D_ω的二次項求得，為

${\displaystyle \tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .}$ 

將平方項係數的公式代到${\displaystyle \tau _{1}\tau _{2}}$ ，再加上 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}}$ 

因為C_M很大，${\displaystyle \tau _{2}}$ 會比原來的值C_L ( R_o || R_L )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為C_C而提高.^[8]。

簡單來說，導入C_C降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

如何選擇C_C

 

圖3：二極點放大器設計的理想波德圖。第一個極點在f₁，增益以20 dB / decade的斜率下降，第二點極點在f₂'，增益以40 dB / decade的斜率下降

在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低^[9][10]。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法^[11][12]。

在設計中選擇f₂的方式如圖3所示。在最低極點f₁處，波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log₁₀ A_v增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上^[13]），( log₁₀ f₂  − log₁₀ f₁ ) = log₁₀ ( f₂ / f₁ ），就是這段的斜率

斜率 ${\displaystyle =20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,}$ 

若f₂ = A_v f₁，上述的值會是是20 dB/decade。若f₂沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的A_v倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的A_v，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得：

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$ 

 

圖4：用Microsoft Excel繪出低頻率C_M的密勒電容C_M（上方）以及補償電容C_C（下方） 和增益的函數關係，電容的單位是pF

利用上述時間常數的近似，可以得到

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$ 

或

${\displaystyle {\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!}$  ${\displaystyle {\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,}$ 

這是一個可以求得C_C近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器C_C很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為C_C的密勒放大作用，會隨著增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的C_C會隨著增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，A_v會設計成等式右邊A_v值的兩倍或三倍^[14]。可以參考Sansen^[4]或Huijsing^[10]的參考資料

迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率（英语：slew rate）有不良的影響。而且因為需要為C_C充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。

相關條目

• 頻率補償
• 密勒效应
• 共源极
• 波德圖
• 步階響應
• CMOS放大器（英语：CMOS Amplifiers）

參考資料和腳註

1. 其上昇時間會在低过冲以及低振鈴的條件下，儘可能的調快
2. C. Toumazu, Moschytz GS & Gilbert B (Editors). Trade-offs in analog circuit design: the designer's companion. New York/Berlin/Dordrecht: Springer. 2007: 272–275. ISBN 978-1-4020-7037-2. 
3. Marc T. Thompson. Intuitive analog circuit design: a problem-solving approach using design case studies. Amsterdam: Elsevier Newnes. 2006: 200. ISBN 0-7506-7786-4. 
4. Willy M. C. Sansen. Analog design essentials. New York; Berlin: Springer. 2006: §097, p. 266 et seq [2021-07-08]. ISBN 0-387-25746-2. （原始内容于2009-05-30）. 
5. 雖然這個例子看起來很特別，相關的數學分析常用在電路設計中
6. 時間常數的和是jω線性項的係數，時間常數的積是(jω)²平方項的係數
7. ${\displaystyle \tau _{1}}$ 的公式和一開始f₁所得的( C_M+C_i ) ( R_A || R_i有些不同，但假設負載電容沒有大到會控制低頻響應，其差異不大
8. 順帶提一下，高頻極點的頻率越高，在實際放大器中其他極點影響的可能性就越大
9. A.S. Sedra and K.C. Smith. Microelectronic circuits Fifth. New York: Oxford University Press. 2004: 849 and Example 8.6, p. 853 [2021-08-20]. ISBN 0-19-514251-9. （原始内容于2009-02-04）. 
10. Huijsing, Johan H. Operational amplifiers: theory and design. Boston, MA: Kluwer Academic. 2001: §6.2, pp.205–206 and Figure 6.2.1. ISBN 0-7923-7284-0. 
11. Feucht, Dennis: Two-pole compensation （页面存档备份，存于互联网档案馆）
12. Self, Douglas. Audio power amplifier design handbook. Oxford: Newnes. 2006: 191–193. ISBN 0-7506-8072-5. 
13. 也就是說，frequency以是十的幂次為單位繪圖，例如1, 10, 10²等etc
14. 二極點放大器設計中，係數2會得到最大平坦（maximally flat）或是巴特沃斯滤波器設計。不過實際的放大器不止二個極點，有必要讓係數大於2