李代数胚

在数学中，李代数胚（Lie Algebroid）在李群胚理论中的角色恰如李代数在李群理论中的角色：将整体问题减化为无穷小情形。就像李群胚可以视为“具有许多对象的李群”，李代数胚可视为“具有许多对象的李代数”。

确切地说，一个李代数胚是三元组 ${\displaystyle (E,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$，其中 ${\displaystyle E}$ 为流形 ${\displaystyle M}$ 上一个向量丛，${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ 是截面 ${\displaystyle \Gamma (E)}$ 组成的模上的一个李括号，向量丛同态 ${\displaystyle \rho :E\rightarrow TM}$ 称为锚。这里${\displaystyle TM}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的切丛。锚与李括号满足莱布尼兹法则：

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]\ ,}$

这里 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (E),f\in C^{\infty }(M)}$ 和 ${\displaystyle \rho (X)f}$ 是 ${\displaystyle f}$ 沿着向量场${\displaystyle \rho (X)}$ 的导数。从而

${\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]\ ,}$

对任何 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (E)}$。

例子

• 任何李代数是单点流形上的李代数胚。

• 流形 ${\displaystyle M}$  的切丛 ${\displaystyle TM}$  是一个关于向量场的李括号的李代数胚，锚是 ${\displaystyle TM}$  的恒同。

• 切丛的任何可积子丛（即其截面在李括号下闭）也定义了一个李代数胚。

• 流形上的任何李代数丛定义了一个李代数胚，这里李括号逐点定义而锚映射等于零。

• 对任何李群胚相伴一个李代数胚，推广了一个李代数怎样相伴到李群（见下）。例如，李代数胚 ${\displaystyle TM}$  来自配对群胚，其对象为 ${\displaystyle M}$ ，以及任何一对对象之间的一个同构态射。很不幸的是，从李代数胚不一定可以得到一个李群胚 ^[1]，不过任何李代数胚给出一个栈李群胚 ^[2][3]。

• 给定一个李代数 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不变向量场是作用轨道上的李代数胚。

• 阿蒂亚代数胚：给定流形 M 上的向量丛 V，考虑其导数，即光滑 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -线性映射 ${\displaystyle \psi :\Gamma (V)\to \Gamma (V)}$ ，且存在一个向量场 X 使得它们满足莱布尼兹法则 ${\displaystyle \psi (fv)=X[f]v+f\psi (v)}$  对所有光滑函数 f 与向量丛的所有截面 v 。联系 ${\displaystyle \psi \to X}$  显然是线性的，从而有向量丛之间的一个映射 ${\displaystyle \rho :A(V)\to TM}$ （如果你找出丛使得其截面给出导数）。阿蒂亚代数胚进一步由满足如下短正合列刻画 ${\displaystyle 0\to \mathrm {End} _{M}(V)\to A(V)\to TM\to 0}$ 。为了说明每个向量丛存在阿蒂亚代数胚，只需注意到它是相伴于向量丛 V 的标架丛李群胚的李代数胚。

与李群胚相伴的李代数胚

为了叙述这个构造我们先确定一些记号。G 是李群胚的态射空间，M 是对象空间，${\displaystyle e:M\to G}$  是单位映射，${\displaystyle t:G\to M}$  为靶映射。

${\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG}$  为 t-纤维切空间。这样李代数胚是切丛 ${\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G}$ ，从 G 中继承一个括号，因为我们可以将 M-截面通过 G 上的左不变向量丛等价到 A 中。而且通过将 M 上的光滑函数等价于 G 上的左不变函数，这些截面作用在 M 上的光滑函数上。

作为一个更清晰的例子，考虑配对李群胚 ${\displaystyle G:=M\times M}$  相伴的李代数胚。靶映射为 ${\displaystyle t:G\to M:(p,q)\mapsto p}$ ，单位映射 ${\displaystyle e:M\to G:p\mapsto (p,p)}$ 。t-纤维是 ${\displaystyle p\times M}$  从而 ${\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}p\times TM\subset TM\times TM}$ 。所以李代数胚是切丛 ${\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T_{p}M=TM}$ 。截面 X 扩张到 A 中 G 上一个左不变向量场不过是 ${\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=0\oplus X(q)}$ ，而 M 上一个光滑函数 f 扩张 M 上一个左不变函数是 ${\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)}$ 。从而 A 上的李括号恰好是切向量场上的李括号，锚映射是恒同。

当然也可以用源映射与右不变向量场/函数做相同的程序。但是得到的是同构的李代数胚，同构映射是 ${\displaystyle i_{*}}$ ，这里 ${\displaystyle i:G\to G}$  是逆映射。

参见条目

• 埃雷斯曼联络
• 仿射联络
• 曲率形式

参考文献

1. Marius Crainic, Rui L. Fernandes: Integrability of Lie brackets, available as arXiv:math/0105033 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
2. Hsian-Hua Tseng and Chenchang Zhu, Integrating Lie algebroids via stacks, available as arXiv:math/0405003 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
3. Chenchang Zhu, Lie II theorem for Lie algebroids via stacky Lie groupoids, available as arXiv:math/0701024 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

外部链接

• Alan Weinstein, Groupoids: unifying internal and external symmetry, AMS Notices, 43 (1996), 744-752. Also available as arXiv:math/9602220 （页面存档备份，存于互联网档案馆）

• Kirill Mackenzie, Lie Groupoids and Lie Algebroids in Differential Geometry, Cambridge U. Press, 1987.

• Kirill Mackenzie, General Theory of Lie Groupoids and Lie Algebroids, Cambridge U. Press, 2005

• Charles-Michel Marle, Differential calculus on a Lie algebroid and Poisson manifolds (2002). Also available in arXiv:0804.2451