有限冲激响应

有限冲激响应（英語：Finite impulse response，縮寫FIR）滤波器是其冲激响应為有限長度的滤波器，脉冲输入信号的响应會在有限時間內變為零，此特性和无限冲激响应（IIR）滤波器相反，无限冲激响应滤波器存在反馈回路，其冲激响应可能是無限長度的（不過一般會衰減）。

N階離散時間的FIR滤波器，其冲激响应（對應克罗内克δ函数輸入的輸出）在變為零之前，最多只持續${\displaystyle N+1}$個取樣點（從第一個非零取樣點，到最後一個非零取樣點）。

FIR滤波器可以是連續時間的，也可能是離散時間的，可以是數位的，也可能是類比的。

定義

 

直接型的N階離散FIR濾波器。最上層是N階的延迟线（delay line）和N + 1個抽頭，每一個單元延遲是Z轉換下的 z⁻¹運算子

 

格子型的N階離散FIR濾波器。每一個單元延遲是Z轉換下的 z⁻¹運算子

針對因果（英语：causal filter）離散時間的N階濾波器，輸出序列的每一個值都是最近輸入的加權和：

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$ 

其中

• ${\textstyle x[n]}$ 是輸入信號
• ${\textstyle y[n]}$ 是輸出信號
• ${\textstyle N}$ 是濾波器階數。${\textstyle N}$ ^th階濾波器表示在右邊有${\textstyle N+1}$ 項
• ${\textstyle b_{i}}$ 是${\textstyle N^{\text{th}}}$ 階FIR濾波器在第i時間（${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ）的脈波響應。若濾波器是直接型的FIR濾波器，則${\textstyle b_{i}}$ 也就是濾波器的係數。

計算也稱為離散卷积。

上述項中的${\textstyle x[n-i]}$ 常稱為tap（抽頭），依數位延遲線（英语：Digital delay line）的結構而定，在許多實現或方塊圖中，會將延遲輸入進行乘法運算。

濾波器的衝激響應定義為有限區間內的非零值。包括零值在內，衝激響應是無限數列：

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$ 

若FIR濾波器是非因果的，其脈衝響應上的非零值範圍可能從${\displaystyle n=0}$ 前就開始。

特性

FIR濾波器相較於IIR濾波器，有以下的優點：

• 不需要回授，因此捨去誤差不會因為連續的加總而累計。每一次的計算其相對誤差都是一樣的，因此在實現上比較簡單。
• 在本質上穩定，因為其輸出是有限個輸入值乘以有限倍數的和，因此不會大於${\textstyle \sum |b_{i}|}$ 乘以輸入的最大值。
• 若讓係數對稱，可以設計成線性相位（英语：linear phase），這在一些相位很重要的應用（例如資料通訊、地震学或分音器）中是很好的特性。

FIR濾波器的主要缺點是若要求要求低頻（相對於取樣率）截止頻率，在相同的銳利程度或是選擇性（英语：selectivity (electronic)）情形下，在通用處理器上的運算量要比IIR濾波器要大。不過目前有許多數位信號處理器提供特別的硬體來使FIR濾波器有類似IIR濾波器一樣有效率。

頻率響應

數列${\displaystyle x[n]}$ 的濾波效果可以用卷积定理，在頻域上描述：

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$      and     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$ 

其中運算子${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 和${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ 表示離散時間傅立葉變換（DTFT）和其倒數。因此，複數值的乘性函數${\displaystyle H(\omega )}$ 是濾波器的频率响应，可以用以下的傅里叶级数定義：

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$ 

其中加上下標表示2π週期性。此處的${\displaystyle \omega }$ 是正規單位（英语：Normalized frequency (digital signal processing)）（radians/sample）下的頻率。在許多濾波器設計的程式中都較常用${\displaystyle \omega =2\pi f,}$ 的定義，將頻率單位${\displaystyle (f)}$ 改為cycles/sample，其週期為1^[A]。當x[n]序數是已知的取樣率${\displaystyle f_{s}}$  samples/second，${\displaystyle \omega =2\pi f/f_{s}}$ 的取代會將頻率單位${\displaystyle (f)}$ 變為cycles/second（赫兹），週期性是${\displaystyle f_{s}}$ 。${\displaystyle \omega =\pi }$ 的值會對應${\displaystyle f={\tfrac {f_{s}}{2}}}$  Hz ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}$  cycles/sample的頻率，也就是奈奎斯特频率。

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$ 也可以用濾波器衝激響應的离散时间傅里叶变换表示：

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$ 

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$ 

濾波器設計

在設計有限脈衝響應濾波器時，要找到符合特定規格的係數以及階數，規格可能是時域的（匹配濾波器），也可能是頻域的（較常見的情形）。匹配濾波器是將輸入信號和已知形狀的脈波進行互相關（cross-correlation）。FIR摺積（FIR convolution）是脈波響應的逆時間複本（time-reversed copy）和輸入信號進行互相關。因此匹配濾波器的脈波是用針對已知脈波進行取樣，再將取樣信號倒序，做為滤波器的係數^[1]。

若希望有特定的頻率響應，以下是一些常見的濾波器設計方式：

1. 窗函數設計法
2. 頻率取樣法
3. 最小MSE（均方差）法
4. 帕克斯-麥克萊倫演算法（也稱為是等漣波法、最佳法或minimax法）常會用雷米茲演算法來找最佳等漣波的係數。使用者會標示想要的頻率響應，此響應下誤差的加權函數，以及濾波器階數N。演算法會找到可以將最大偏移量降到最低的${\textstyle N+1}$ 個係數。直覺上，這可以找到在只用${\textstyle N+1}$ 下，最符合期望頻率響應的濾波器。此方式特別容易實作，因為至少有一本教科書^[2]有包括可以用理想濾波器以及階數N，得到最佳係數的程式。
5. 等漣波FIR濾波器也可以用DFT演算法設計^[3]。此方式在本質上是迭代的，初始濾波器計設計的DFT可以用FFT演算法計算（若沒有初始估計值，可以用h[n]=delta[n]）。在傅立葉域下，可以依要想的規格調整頻率響應，接著計算反DFT。在時域下，只保留前N個係數（其他係數設為0），之後再重覆上述的流程：再計算DFT，在頻率下調整，再轉回時域。

目前已有許多軟體可以進行濾波器設計，例如MATLAB、GNU Octave、Scilab和SciPy等。

移動平均濾波器的例子

 

簡單FIR濾波器的方塊器（此例中是二階三抽頭的濾波器，是移動平均濾波器）

 

此例中二階FIR濾波器的極零點圖（英语：Pole–zero diagram）

 

二階FIR濾波器的振幅（絕對值）和相位響應

 

二階FIR濾波器的振幅（允許負值）和相位響應

移動平均濾波器是簡單的FIR濾波器，有時會稱為Boxcar 函数濾波器（特別在之後有降采样的情形下）。濾波器的係數${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$ 可以用以下公式求得：

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$ 

以下是更具體的例子，選擇濾波器的階數：

${\displaystyle N=2}$ 

其沖激響應如下：

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$ 

右邊的方塊圖是以下要討論的二階移動平均濾波器。其遞移函數為：

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$ 

下一個圖是濾波器的極零點圖（英语：Pole–zero diagram）。零頻率（直流）對應(1, 0)，正頻率會繞原點逆時針旋轉，直到(−1, 0)的奈奎斯特頻率。在原點有二個極點，二個零點在${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ，${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ 。

若以正規化頻率（英语：Normalized frequency (digital signal processing)）ω表示，頻率響應為：

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$ 

圖上有其振幅和相位的響應，不過此圖也可以用冲激响应的离散傅里叶变换得到

因為其對稱性，濾波器設計或是顯示軟體多半只會顯示 [0, π]區域。可以看出移動平均濾波器的低頻增益接近1，但會衰減高頻的信號，因此是簡單的低通滤波器。相位圖是線性的，但在增益降到零時出現不連續，不連續的大小是π，意思是有變號的情形。最後一張圖的振幅允許正負，此時的相位就都是線性的。

參考文獻

1. Oppenheim, Alan V., Willsky, Alan S., and Young, Ian T.,1983: Signals and Systems, p. 256 (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-809731-3
2. Rabiner, Lawrence R., and Gold, Bernard, 1975: Theory and Application of Digital Signal Processing (Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4
3. A. E. Cetin, O.N. Gerek, Y. Yardimci, "Equiripple FIR filter design by the FFT algorithm," IEEE Signal Processing Magazine, pp. 60–64, March 1997.

• Jian-Jiun Ding (2013), Advanced Digital Signal Processing （页面存档备份，存于互联网档案馆） [viewed 27/06/2013]

註解

1. An exception is MATLAB, which prefers units of half-cycles/sample = cycles/2-samples, because the Nyquist frequency in those units is 1, a convenient choice for plotting software that displays the interval from 0 to the Nyquist frequency.

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