有序域

在数学的一个分支代数中，有序域是一个全序关系通过加法和乘法运算不被改变的域。有序域最常见的例子是实数。

定义

一个满足下面两个条件的、拥有偏序关系${\displaystyle \leq }$ 的域${\displaystyle (K,+,\cdot )}$ 被定义为有序域：对于任何${\displaystyle K}$ 中的元素${\displaystyle a,b,c}$ 以下两个条件获得满足：

• 若${\displaystyle a\leq b}$ ，则${\displaystyle a+c\leq b+c}$ 。
• 若${\displaystyle 0\leq a}$ 且${\displaystyle 0\leq b}$ ，则${\displaystyle 0\leq a\cdot b}$ 。

大于0的元素被称为是正的，小于0的元素被称为是负的。

特性

由以上定义可以直接推导出以下特性（${\displaystyle a,b,c,d}$ 是${\displaystyle K}$ 的元素）：

• 一个正的元素的负数是负的，一个负的元素的负数是正的：即任何${\displaystyle K}$ 中的${\displaystyle a}$ ，假如${\displaystyle a\neq 0}$ 则${\displaystyle -a<0<a}$ 或${\displaystyle a<0<-a}$ 。
• 不等式可以相加：${\displaystyle a\leq b}$ 和${\displaystyle c\leq d}$ 则${\displaystyle a+c\leq b+d}$ 。
• 不等式可以与正元素相乘：${\displaystyle a\leq b}$ 和${\displaystyle 0\leq c}$ 则${\displaystyle ac\leq bc}$ 。
• 平方数不是负的：${\displaystyle 0\leq a^{2}}$ ，尤其${\displaystyle 0<1}$ 。
• 通过数学归纳法可以推导出任何一的有限的和是正的：${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$ 。

结构

所有有序域都具有特征数0。这个结论直接出于上述的最后一个特性${\displaystyle 0<1+1+\cdots +1}$ 。

每个有序域的子域也是有序域。任何含特征数0的域其最小子域与有理数同構，且这个子域的排序与${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 一致。

假如一个有序域中的任何元素都介于两个有理数之间的话，则该域具有阿基米德性质。比如实数是具有阿基米德性质的，而超实数则不具有。

有序域${\displaystyle K}$ 的排序可用來定義${\displaystyle K}$ 的拓扑空间，这个拓扑空间可由${\displaystyle \{x\in K\mid x<a\}}$ 和${\displaystyle \{x\in K\mid x>a\}}$ 作為準基來生成，稱之為序拓撲。加法和乘法运算相对于这个拓扑空间是连续的。

例子

• 有理数${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 组成最小的有序域
• 实数${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和其中的任何部分域
• 超实数