普遍化

普遍化（generalization）是數理邏輯裡一條極為常用的規則，直觀來說，這條規則在滿足一條件下，可以將原合式公式推廣成被全称量化的版本。

視為元定理

主条目：一阶逻辑 § 普遍化元定理

在谓词演算裡，若承認以下的量詞公理模式：（以下的 ${\displaystyle x}$  為任意變數， ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  為任意合式公式）

• （A4） ${\displaystyle T}$  是一個項， ${\displaystyle t}$  為 ${\displaystyle T}$  中出現的任意變數；若 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  裡，所有 ${\displaystyle \forall t}$  的的範圍裡都沒有自由的 ${\displaystyle x}$  （這個情況稱為 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  裡項 ${\displaystyle T}$  對 ${\displaystyle x}$  是自由的），則

${\displaystyle [(\forall x){\mathcal {B}}(x)]\Rightarrow [{\mathcal {B}}(T)]}$ 

為公理

其中 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(T)}$  代表把 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  裡自由的 ${\displaystyle x}$  都取代為 ${\displaystyle T}$  所得到的新公式。

• （A5）如果 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  裡完全被約束則

${\displaystyle [(\forall x)({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}})]\Rightarrow [{\mathcal {B}}\Rightarrow (\forall x{\mathcal {C}})]}$ 

為公理

• （A6） ${\displaystyle [(\forall x)({\mathcal {B}}\Rightarrow {\mathcal {C}})]\Rightarrow [(\forall x{\mathcal {B}})\Rightarrow (\forall x{\mathcal {C}})]}$  為公理
• （A7） 若 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  是公理， ${\displaystyle x}$  是任意變數則

${\displaystyle (\forall x){\mathcal {B}}}$ 

也是公理。

可以得到以下的元定理

在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}}$  裡變數 ${\displaystyle x}$  都完全被約束，若

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash {\mathcal {B}}}$ 

則有

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},{\mathcal {A}}_{2},....,{\mathcal {A}}_{n}\vdash (\forall x){\mathcal {B}}}$ 

這個元定理就是一般所稱的普遍化。

視為推理規則

普遍化可以視為谓词演算的一條推理规则，也就是說：（ 以下的 ${\displaystyle x}$  為任意變數，${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  為任意合式公式）

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 可以推出 ${\displaystyle \forall x{\mathcal {A}}}$ 。

也可以用相继式表記為

${\displaystyle {\mathcal {A}}\vdash \forall x{\mathcal {A}}}$ 

但這個推理規則會嚴苛地限制演绎定理的適用範圍，如

${\displaystyle \vdash P(x)\Rightarrow \forall xP(x)}$ 

不成立，因为無法確定變數 ${\displaystyle x}$  在${\displaystyle P(x)}$ 有沒有完全被約束（參見上面元定理一節）。這就破壞了元語言的＂十字旋轉門＂「 ${\displaystyle \vdash }$ 」跟逻辑语言的「${\displaystyle \Rightarrow }$ 」間的聯繫。也就是說，直觀上「 以合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 為前提，根據推理規則和公理可以推出合式公式${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 」跟「根據推理規則和公理可以推出合式公式${\displaystyle {\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}}$ 」是等價的，但將普遍化視為推理規則就不免打破這個直觀聯繫。

证明的例子

以下的證明是基於將普遍化視為推理規則 。

${\displaystyle \vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]}$ 

证明：

编号	公式	理由
1	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]}$	假设
2	${\displaystyle \forall xP(x)}$	假设
3	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [P(x)\Rightarrow Q(x)]}$	公理 PRED-1
4	${\displaystyle P(x)\Rightarrow Q(x)}$	从 (1) 和 (3) 通过肯定前件
5	${\displaystyle \forall xP(x)\Rightarrow P(x)}$	公理 PRED-1
6	${\displaystyle P(x)\ }$	从 (2) 和 (5) 通过肯定前件
7	${\displaystyle Q(x)\ }$	从 (6) 和 (4) 通过肯定前件
8	${\displaystyle \forall xQ(x)}$	从 (7) 通过普遍化
9	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)],\,\forall xP(x)\vdash \forall xQ(x)}$	总结 (1) 到 (8)
10	${\displaystyle \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\vdash \forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)}$	从 (9) 通过演绎定理
11	${\displaystyle \vdash \forall x[P(x)\Rightarrow Q(x)]\Rightarrow [\forall xP(x)\Rightarrow \forall xQ(x)]}$	从 (10) 通过演绎定理

步骤(10)中，因为 ${\displaystyle \forall xP(x)}$  裡${\displaystyle x}$ 完全被約束，所以可以套用演繹定裡，步骤(11)也是基於類似的理由。