普羅海特-蘇-摩爾斯常數

普羅海特-蘇-摩爾斯常數（Prouhet–Thue–Morse constant）是數學中的常數，符號為${\displaystyle \tau }$，得名自 歐仁·普羅海特（法语：Eugène Prouhet）、阿克塞尔·图厄及馬斯頓·摩斯（英语：Marston Morse），其二進制.01101001100101101001011001101001...為蘇-摩爾斯數列（英语：Thue–Morse sequence），也就是

普羅海特-蘇-摩爾斯常數

普羅海特-蘇-摩爾斯常數
命名
數字	${\displaystyle \tau }$
名稱	普羅海特-蘇-摩爾斯常數
識別
種類	無理數 超越數
符號	${\displaystyle \tau }$
位數數列編號	A014571
性質
定義	${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}}$， 其中${\displaystyle t_{i}}$為蘇-摩爾斯數列（英语：Thue–Morse sequence）中的第i個元素。
表示方式
值	${\displaystyle \tau \approx }$0.41245403364...
二进制	0.011010011001011010010110…
十进制	0.412454033640107597783361…
十六进制	0.699696699669699696696996…
查 论 编

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots }$

其中${\displaystyle t_{i}}$為蘇-摩爾斯數列中的第i個元素。

${\displaystyle t_{i}}$的其生成級數為：

${\displaystyle \tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}}$

可以表示為

${\displaystyle \tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

這是弗賓納斯多項式（英语：Frobenius polynomial）的乘積，因此可以推廣到任意的域。

普羅海特-蘇-摩爾斯常數已由库尔特·马勒（英语：Kurt Mahler）在1929年證明是超越數^[1]。

腳註

1. Mahler, Kurt. Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. Math. Annalen. 1929, 101: 342–366. JFM 55.0115.01. doi:10.1007/bf01454845. 

參考資料

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey. Automatic Sequences: Theory, Applications, Generalizations. Cambridge University Press. 2003. ISBN 978-0-521-82332-6. Zbl 1086.11015. .
• Pytheas Fogg, N. Substitutions in dynamics, arithmetics and combinatorics. Lecture Notes in Mathematics 1794. Editors Berthé, Valérie; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-44141-7. Zbl 1014.11015. 

外部連結

• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A010060 (Thue-Morse sequence). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• The ubiquitous Prouhet-Thue-Morse sequence （页面存档备份，存于互联网档案馆）, John-Paull Allouche and Jeffrey Shallit, (undated, 2004 or earlier) provides many applications and some history
• PlanetMath entry （页面存档备份，存于互联网档案馆）