日出方程式

日出方程式和隨後的那些分程式，可以計算出太陽在不同的赤緯時，地球各地不同緯度的日出和日落時間之精確地方時：

一個利用日出方程式，以北緯40度（大約是紐約、北京的位置）作為基準之全年日照圖表。

${\displaystyle \cos \omega _{o}=-\operatorname {tan} (\phi )\times \operatorname {tan} (\delta )}$

此處：

${\displaystyle \,\!\omega _{o}}$是日出（當數值為負數時）或日落（當數值為正值時）時，以度為單位的時角；

${\displaystyle \,\!\phi }$是在地球上觀測者的緯度；

${\displaystyle \,\!\delta }$ 是太陽的赤緯。

方程式的理論

地球自轉的角速度是 15°/小時，因此${\displaystyle \,\!\omega _{o}/15^{o}}$ 給了日出時間與當地正午之前相隔的小時數，或是日落時間與當地正午之後相隔的小時數。「當地正午」這個專有名詞（術語）在這裡的含意是太陽精確的位於正南方、正北方或正頭頂上位置的時刻。

在國際的協定上，當在赤道時${\displaystyle \,\!\phi }$ 的值是0，在北半球是正值，在南半球是負值。當春分或秋分，太陽正好在赤道上空時，${\displaystyle \,\!\delta }$ 是0，在北半球的夏天是正值，而在北半球的冬天是負值。

需要注意的是，上面的方程式只適用於有日出和日落的地區，也就是在北半球的夏天時，${\displaystyle \,\!-90^{o}+\delta <\phi <90^{o}-\delta }$ ；和在北半球的冬天，${\displaystyle \,\!-90^{o}-\delta <\phi <90^{o}+\delta }$ 的地區，在這個緯度範圍之外的地區，不是24小時白天的永晝，就是24小時夜晚的永夜。

方程式的改進

同時要注意的還有，上面的方程式忽略了大氣折射的影響（當太陽在地平面時會被抬升約0.6°），和太陽盤面的大小（大約0.5°）。在天文曆書上，通常使用下面的方程式來修正這兩項因素影響，重新設置日出和日落的時刻：

${\displaystyle \cos(\omega _{o})={\dfrac {\sin(a)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}}$ 

太陽盤面中心點的高度 (a)大約在地平面下-0.85° （或-51弧分）。

在地球上完整的計算

一般化的方程式在本身需要的計算之前，先要計算許多其它的變數。這些方程式中有全部的太陽-地球常數，都以角度形式的常數被置入。

計算現在的儒略週期

${\displaystyle n^{\star }=J_{date}-2451545-0.0009-{\dfrac {l_{w}}{360}}}$ 

${\displaystyle n=round(n^{\star }){\dfrac {}{}}}$ 

此處：

J_date是儒略日期；

l_w是觀測者在地球上的西經度數（西經是負值、東經是正值）；

n是以2000年1月1日為基準(0)的儒略世紀數。

大約的太陽正午

${\displaystyle J^{\star }=2451545+0.0009+{\dfrac {l_{w}}{360}}+n}$ 

此處：

${\displaystyle J^{\star }}$ 是在地面經度l_w的太陽正午大約時刻。

太陽的平近點角

${\displaystyle M=[357.5291+0.98560028\times (J^{\star }-2451545)]\mod 360}$ 

此處：

M是太陽的平近點角。

中心差

${\displaystyle C=1.9148\times \sin(M)+0.0200\times \sin(2M)+0.0003\times \sin(3M){\dfrac {}{}}}$ 

此處：

C是中心差。

黃經

${\displaystyle \lambda =(M+102.9372+C+180)\mod 360}$ 

此處：

λ是黃經。

過中天

${\displaystyle J_{transit}=J^{\star }+(0.0053\times \sin(M))-(0.0069\times \sin(2\lambda ))}$ 

此處：

J_transit是太陽過中天（太陽正午）的恆星時。

太陽的赤緯

${\displaystyle \delta =\sin ^{-1}(\sin(\lambda )\times \sin(23.45)){\dfrac {}{}}}$ 

此處：

δ是太陽的赤緯。

時角

這時來自上面修正太陽盤面的方程式。

${\displaystyle \omega _{o}=\cos ^{-1}\left({\dfrac {\sin(-0.83)-\sin(\phi )\times \sin(\delta )}{\cos(\phi )\times \cos(\delta )}}\right)}$ 

此處：

ω_o是時角；

${\displaystyle \phi }$ 是觀測者在地球上的緯度（北緯是正值、南緯是負值）。

這是修正太陽盤面的主要方程式

日出和日落的計算

${\displaystyle J_{set}=2451545+0.0009+\left({\dfrac {\omega _{o}+l_{w}}{360}}+n+0.0053\,\sin M\right)-0.0069\,\sin 2\lambda }$ 

${\displaystyle J_{rise}=J_{transit}-(J_{set}-J_{transit}){\dfrac {}{}}}$ 

此處：

J_set是日落的正確儒略日；

J_rise是日出的正確儒略日。

相關條目

• 日出
• 日落
• 日長

外部連結

• Sunrise, sunset, or sun position for any location （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 日出方程式-基本式推導 （页面存档备份，存于互联网档案馆）