斯坦豪斯-莫澤表示法

斯坦豪斯-莫澤表示法，又稱斯坦豪斯-莫澤記號、斯坦豪斯-莫澤多邊形記號、多邊形記號，為利用多邊形來表示大數的一種表示法。此表示法由雨果·斯坦豪斯（英语：Hugo Steinhaus）發明，後來李奧·莫澤擴展了該表示法。

斯坦豪斯的多邊形記號

斯坦豪斯多邊形記號的定義如下：

•   = nⁿ
•   = 「n放進n個三角形中」
•   = 「n放進n個正方形中」

斯坦豪斯使用這個符號定義了一些數：

•  被稱為Mega數。
•  被稱為Megiston數。

莫澤的多邊形記號

莫澤多邊形記號是斯坦豪斯多邊形記號的擴張，這個記號不使用圓形，而使用一般的多邊形。

•  、 與斯坦豪斯的記號相同。
•   = 「n放進n個正方形中」（=  ）
• 一般來說，「n放進m邊形中」=「n放進n個m - 1邊形中」

而「2放進 邊形中」則被稱為莫澤數。

中括號表示法

紐約大學的蘇珊·史蒂芬教授在自己的網站中使用以下替代符號：

• 「n放進p邊形中」使用${\displaystyle n[p]\,}$ 來表示。（請注意：在本條目中，${\displaystyle [n]}$ 都是表示某個數字放進正${\displaystyle n}$ 邊形中，並不是第${\displaystyle n}$ 級的超運算，為了避免搞混，第${\displaystyle n}$ 級的超運算在本條目中是使用${\displaystyle n-2}$ 個向上的箭號表示，請見高德納箭號表示法）
• ${\displaystyle [\ldots ]}$ 可以重複使用。例如，「『n放進q邊形中』放進p邊形中」可以表示為${\displaystyle (n[q])[p]\,}$ 。
• 「n放進k個p邊形中」表示為${\displaystyle n[p]_{k}\,}$ 。換句話說，${\displaystyle n[p]_{k}}$ 可以定義為${\displaystyle n\underbrace {[p][p]...[p]} _{k}}$ 。

多邊形記號可以使用這種表示法來定義：

•   ${\displaystyle =n[3]=n^{n}=n\uparrow \uparrow 2\,}$ 
•   ${\displaystyle =n[4]=n[3]_{n}\,}$ 
•   ${\displaystyle =\,}$    ${\displaystyle =n[5]=n[4]_{n}\,}$ 
• 一般來說，${\displaystyle n[m]=n[m-1]_{n}=n\underbrace {[m-1][m-1]...[m-1]} _{n}\,}$ 。

上面所使用的↑為高德納箭號表示法中的記號。

其他例子：

•   ${\displaystyle =n[3]_{4}}$ 

斯坦豪斯和莫澤所定義的大數可如下表示：

•  （Mega數）${\displaystyle =2[5]}$ 
•  （Megiston數）${\displaystyle =10[5]}$ 
• 莫澤數 = ${\displaystyle 2[2[5]]}$ 

一些例子的計算

簡單的例子

• 2[3] = 2² = 4
• 2[4] = 2[3]₂ = 2[3][3] = 4[3] = 4⁴ = 256

Mega數

  = 2[5]

= 2[4]₂

= 2[4][4]

= 256[4]

= 256[3]₂₅₆

256[3]_n所代表的值如下（n從1開始）：

${\displaystyle 256[3]=256^{256}}$ 

${\displaystyle 256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256}\uparrow \uparrow 2=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=(256\uparrow )^{2}257}$ ,

${\displaystyle 256[3]_{3}=256[3]_{2}[3]=256[3]_{2}\uparrow \uparrow 2=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{\left(256^{257}\times 256^{256^{257}}\right)}=256^{256^{(257+256^{257})}}=(256\uparrow )^{2}\left(257+256^{257}\right)}$ 

這個數字可以「近似」如下：

${\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\risingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=(256\uparrow )^{3}257}$ 

這個近似值跟${\displaystyle 256[3]_{3}}$ 實際上差了非常多倍：

${\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}}$ 

通常人們會感覺這兩個數很近，其實差很遠。

類似地，

${\displaystyle 256[3]_{4}\risingdotseq \left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{256^{256^{257}}}}=256^{\left(256^{256^{257}}\times 256^{256^{256^{257}}}\right)}=256^{256^{(256^{257}+256^{256^{257}})}}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257}$ 

${\displaystyle 256[3]_{5}\risingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257}$ 

這種「近似」方法也可以推展到所求的Mega數：

  ${\displaystyle =256[3]_{256}\risingdotseq (256\uparrow )^{256}257}$ 

如果再採用更簡化的「近似值」，可以推得：

  ${\displaystyle \risingdotseq 256\uparrow \uparrow 257}$ 

實際上，

  ${\displaystyle \gg (256\uparrow )^{256}257\gg 256\uparrow \uparrow 257}$ 

如果以10為底，則可表示成：

  ${\displaystyle \approx (10\uparrow )^{255}\left(1.99\times 10^{619}\right)\approx (10\uparrow )^{256}\left(6.19\times 10^{2}\right)\approx (10\uparrow )^{257}\left(2.79\right)}$ 

因此Mega數的範圍為：

${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<}$    ${\displaystyle <10\uparrow \uparrow 258}$ 

Megiston數

  = 10[5] = 10[4]₁₀ = (10[4]₉)[4]

通過類似於Mega數近似值的近似方法，可得：

${\displaystyle a[4]=a[3]_{a}\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)}$ 

${\displaystyle a[4]\risingdotseq a\uparrow \uparrow (a+1)\risingdotseq a\uparrow \uparrow a\quad \mathrm {when} \ a\gg 1}$  (*)

將a換成10，可得：

${\displaystyle 10[4]=10[3]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 11}$ 

${\displaystyle 10[4]_{2}=10[4][4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow 11)\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}$ 

下式為把開頭的10換成a，11換成b，後面的${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 11}$ 換成n之後的計算（其中a↑b = a^b）：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&=(a\uparrow \uparrow b)\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=(a\uparrow (a\uparrow \uparrow (b-1)))\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\&=a\uparrow ((a\uparrow \uparrow (b-1))\times (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))\\\end{aligned}}}$ 

當a, b皆足夠大時：

${\displaystyle a\uparrow \uparrow (b-1)\ll (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1)}$ 

所以

${\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow (n-1))}$ 

這是一個近似值。

此時重複上面的操作，直到n = 1為止：

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n&\risingdotseq \underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow ((a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow 1)\\&=\underbrace {a\uparrow a\uparrow \cdots \uparrow a} _{n-1}\uparrow (a\uparrow \uparrow b)\\&\risingdotseq a\uparrow \uparrow ((n-1)+b)\end{aligned}}}$ 

因此，當${\displaystyle n\gg b}$ 時

${\displaystyle (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow n\risingdotseq a\uparrow \uparrow n}$  (**)

這是一個近似值。

使用(**)式，可得${\displaystyle 10[4]_{2}}$ 的近似值：

${\displaystyle 10[4]_{2}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11)}$ 

以下的近似值使用(*)和(**)式：

${\displaystyle 10[4]_{3}=10[4]_{2}[4]\risingdotseq (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))\risingdotseq 10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow (10\uparrow \uparrow 11))=10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{3}11}$ 

${\displaystyle 10[4]_{4}=10[4]_{3}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{4}11}$ 

${\displaystyle 10[4]_{5}=10[4]_{4}[4]\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{5}11}$ 

因此，

${\displaystyle 10[4]_{10}\risingdotseq 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 10\uparrow \uparrow 11=(10\uparrow \uparrow )^{10}11}$ 

所以Megiston數大致等於：

  ${\displaystyle \risingdotseq 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}$ 

然而，實際上近似值遠小於真正的Megiston數：

  ${\displaystyle \gg (10\uparrow \uparrow )^{10}11\gg 10\uparrow \uparrow \uparrow 11}$ 

莫澤數

莫澤數代表${\displaystyle 2[}$  ${\displaystyle ]=2[2[5]]}$ 。由於 是相當巨大的數字， 邊形幾乎跟圓沒有差別，因此採用莫澤多邊形記號是不可能畫出莫澤數的。

儘管 是非常巨大的，跟 相比來說仍是微不足道的。

提姆·周在1998年證明了下式[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆），可見莫澤數遠遠小於葛立恆數（因為下式中後者還比葛立恆數小很多）：

${\displaystyle M<3\rightarrow 3\rightarrow ((3\rightarrow 3\rightarrow 5)\times 2-1)}$ 

利用高德納箭號表示法來準確表示莫澤數幾乎是不可能的，但是可以用近似值來表示。莫澤數近似於${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \!\cdots \!\uparrow 3}$ （ -2個箭號）。

參見

• 高德納箭號表示法
• 康威鏈式箭號表示法

外部連結

• Susan Stepney's Big Numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 埃里克·韦斯坦因. Steinhaus-Moser notation. MathWorld.