数域

数域是近世代数学中常见的概念，指对加减乘除四则运算封闭的代数系统。通常定义的数域是指复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$的子域。“数域”一词有时也被用作代数数域的简称，但两者的定义有细微的差别。

定义

设${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 是复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的子集。若${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中包含0与1，并且${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中任两个数的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都仍在${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 中，就称${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ 为一个数域^[1]:101。用域论的话语来说，复数域的子域是为数域^[2]:5。

任何数域都包括有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ^[1]:103[2]:5，但并不一定是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张，因此数域不一定是代数数域。例如实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 都不是代数数域。反之，每个代数数域都同构于某个数域。

例子

除了常见的实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 和复数域${\displaystyle \mathbb {C} }$ 以外^[2]:5，通过在有理数域中添加特定的无理数进行扩张得到的扩域也是数域。例如所有形同：

${\displaystyle a+b{\sqrt {2}},\;\;a,b\in \mathbb {Q} }$ 

的数的集合，就是一个数域。可以验证，任何两个这样的数，它们的和、差、乘积以及商（约定除数不为0）都能写成${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ 的形式，故仍然在集合之中^[1]:102。这个集合记作${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ，是有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的二次扩域。

可构造数

可构造数也叫规矩数，指的是从给定的单位长度开始，能够通过有限次标准的尺规作图步骤做出的长度数值。所有可构造数的集合记为${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ，是一个数域^[3]:160-161。因为给定了两个已经做出的线段后，可以通过符合尺规作图规定的手段，在有限步内作出长度为两者长度之和、差、乘积以及商的线段。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 是${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的扩域，次数为无限大，是实数域${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子域^[3]:161。

代数数

代数数指能够成为某个有理系数多项式的根的数。所有代数数的集合记作${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，是一个数域。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 也常被称为代数数域，但与定义为“${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张”的代数数域是不同的概念。不过，每个${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的有限扩张生成的域都可看作是^{[N 1]}${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 中加入某个代数数扩成的，所以都是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的子域。可构造数构成的数域${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ 也是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的子域。由于虚数单位i也是代数数，所以${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 不是${\displaystyle \mathbb {R} }$ 的子域。另一方面，自然对数的底e以及圆周率π都不是代数数，所以${\displaystyle \mathbb {R} }$ 也不是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的子域^{[N 2]}。

注释

1. 在同构意义上。
2. 事实上${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的元素个数是可数的，所以元素个数不可数的${\displaystyle \mathbb {R} }$ 不可能是${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 的子域。

参考来源

1. 王萼芳. 高等代数教程. 清华大学出版社. 1997. ISBN 9787302024521. 
2. 张贤科, 许甫华. 高等代数学. 清华大学出版社. 2004. ISBN 9787302082279. 
3. 胡冠章, 王殿军. 应用近世代数. 清华大学出版社. 2006. ISBN 9787302125662.