力矩

力矩（moment of force^[1]，moment^[2]）在物理学中，是作用力促使物體繞著轉動軸或支點轉動的趨向^[3]；也就是作用力使物体产生“转”、“扭”或“弯”效应的量度。簡略地说，力矩是一種施加於例如螺栓、飛輪一類的物體，或是擰毛巾、扳鋼筋的扭轉力。例如，用扳手的開口箝緊螺栓或螺帽，然後轉動扳手，這動作會產生力矩來轉動螺栓或螺帽。

在一个旋转系统裏，作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$、动量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$、角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$，這些物理量之間的关系。

使机械元件转动的力矩又称转矩（turning moment^[4]，moment of rotation^[5]）即转动力矩；在材料力学、土木工程和建筑学中，作用引起的结构或构件某一截面上的剪力所构成的力偶矩，称为扭矩^[6]（torsional moment，torque），而作用引起的结构或构件某一截面上的正应力所构成的力矩，则称为弯矩^[7]（bending moment）。

力矩能够使物体改变其旋转运动。推擠或拖拉涉及到作用力，而扭转則涉及到力矩。如上图，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$等於径向向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$与作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$的叉積。

根據国际单位制，力矩的单位是牛顿${\displaystyle \cdot }$米。本物理量非能量，因此不能以焦耳（J）作單位；根據英制单位，力矩的单位则是英尺${\displaystyle \cdot }$磅。力矩的表示符号是希腊字母${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$，或${\displaystyle \mathbf {M} \,\!}$。

力矩與三個物理量有關：施加的作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$、從轉軸到施力點的位移向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$、兩個向量之間的夾角${\displaystyle \theta \,\!}$。力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$以向量方程式表示為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$。

力矩的大小為

${\displaystyle \tau =rF\sin \theta \,\!}$。

定义

 

用右手定則决定力矩方向

力矩等於作用於杠杆的作用力乘以支点到力的垂直距离。例如，3 牛顿的作用力，施加於离支点2 米处，所产生的力矩，等於1牛顿的作用力，施加於离支点6米处，所产生的力矩。力矩是个向量。力矩的方向与它所造成的旋转运动的旋转轴同方向。力矩的方向可以用右手定則来决定。假设作用力垂直於杠杆。将右手往杠杆的旋转方向弯捲，伸直的大拇指与支点的旋转轴同直线，则大拇指指向力矩的方向^[8]。

 

假設作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 施加於位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的粒子。選擇原點（以紅點表示）為參考點，只有垂直分量${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$ 會產生力矩。這力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$ 的大小為${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} _{\perp }|=|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$ ，方向為垂直於屏幕向外。

更一般地，如圖右，假設作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 施加於位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的粒子。選擇原點為參考點，力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\,\!}$ 以方程式定義為

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$ 。

力矩大小為

${\displaystyle \tau =|\mathbf {r} ||\mathbf {F} |\sin \theta \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle \theta \,\!}$ 是兩個向量${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 與${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 之間的夾角。

力矩大小也可以表示為

${\displaystyle \tau =rF_{\perp }\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle F_{\perp }\,\!}$ 是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 對於${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 的垂直分量。

任何與粒子的位置向量平行的作用力不會產生力矩。

從叉積的性質，可推論，力矩垂直於位置向量${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 和作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 。力矩的方向與旋轉軸平行，由右手定則決定。

力矩與角動量之間的關係

 

地心引力${\displaystyle \mathbf {F_{g}} \,\!}$ 的力矩造成角动量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 的改变。因此，陀螺呈现进动現象。

假設一個粒子的位置為${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ ，動量為${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$ 。選擇原點為參考點，此粒子的角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 為

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \,\!}$ 。

粒子的角動量對於時間的導數為

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}&={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times \mathbf {p} +\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\\&=\mathbf {v} \times m\mathbf {v} +\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\\&=\mathbf {r} \times m\mathbf {a} \\\end{aligned}}\,\!}$  ；

其中，${\displaystyle m\,\!}$ 是質量，${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$ 是速度，${\displaystyle \mathbf {a} \,\!}$ 是加速度。

應用牛頓第二定律，${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,\!}$ ，可以得到

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$ 。

按照力矩的定義，${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}\ {\stackrel {def}{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}$ ，所以，

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$ 。

作用於一物體的力矩，決定了此物體的角動量${\displaystyle \mathbf {L} \,\!}$ 對於時間${\displaystyle t\,\!}$ 的導數。

假設幾個力矩共同作用於物體，則這幾個力矩的合力矩${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }\,\!}$ 共同決定角動量的對於時間的變化：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{1}+\cdots +{\boldsymbol {\tau }}_{n}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}\,\!}$ 。

關於物體的繞著固定軸的旋轉運動，

${\displaystyle \mathbf {L} =I{\boldsymbol {\omega }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle I\,\!}$ 是物體對於固定軸的轉動慣量，${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$ 是物體的角速度。

所以，取上述方程式對時間的導數：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (I{\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=I{\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}}{\mathrm {d} t}}=I{\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$ ；

其中，${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\,\!}$ 是物體的角加速度。

单位

力矩的定义是距离乘以作用力。根據国际单位制，力矩的单位是牛顿${\displaystyle \cdot }$ 米^[9]（Nm）。虽然牛顿与米的次序，在数学上，是可以交换的，但是国际重量测量局（Bureau International des Poids et Mesures）规定这次序应是牛顿${\displaystyle \cdot }$ 米，而不是米${\displaystyle \cdot }$ 牛顿^[10]。

根據国际单位制，能量与功量的单位是焦耳，定义为1牛顿${\displaystyle \cdot }$ 米。但是，焦耳不是力矩的单位。因为，能量是力点积距离的标量；而力矩是距离叉积作用力的向量。当然，量纲相同并不尽是巧合，使1牛顿${\displaystyle \cdot }$ 米的力矩，作用1 全转，需要恰巧${\displaystyle 2\pi \,\!}$ 焦耳的能量：

${\displaystyle E=\tau \theta \,\!}$ 。

其中，${\displaystyle E\,\!}$ 是能量，${\displaystyle \theta \,\!}$ 是移动的角度，单位是弧度。

根據英制，力矩的单位是英尺${\displaystyle \cdot }$ 磅。

矩臂方程式

 

矩臂图

在物理学外，其他的学术界裡，力矩时常会如以下定义：

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=({\text{moment arm}})\cdot {\textrm {force}}\,\!}$ 。

右图显示出矩臂（moment arm）、前面所提及的相对位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$ 、作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ （force）。这个定义並没有指出力矩的方向，只有力矩的大小。所以，并不适用于三维空间问题。

静力概念

当一个物体在静态平衡时，合力是零，对任何一点的合力矩也是零。二维空间的平衡要求是

${\displaystyle \sum F_{x}=0\,\!}$ ，

${\displaystyle \sum F_{y}=0\,\!}$ ，

${\displaystyle \sum \tau =0\,\!}$ 。

这里，${\displaystyle F_{x},\ F_{y}\,\!}$ 是作用力${\displaystyle \mathbf {F} \,\!}$ 分别在x-轴与y-轴的分量。假若，这三个联立方程式有解，则称此系统为静定系统；不然，则称为静不定系统。

力矩、能量和功率之間的關係

假設施加作用力於一物體，使得此物體移動一段距離，則作用力對於此物體做了機械功。類似地，假設施加力矩於一物體，使得此物體旋轉一段角位移，則力矩對於此物體做了機械功。對於穿過質心的固定軸的旋轉運動，以數學方程式表達，

${\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta \,\!}$ ；

其中，${\displaystyle W\,\!}$ 是機械功，${\displaystyle \theta _{1}\,\!}$ 、${\displaystyle \theta _{2}\,\!}$ 分別是初始角和終結角，${\displaystyle \mathrm {d} \theta \,\!}$ 是無窮小角位移元素。

根據功能定理，${\displaystyle W\,\!}$ 也代表物體的旋轉動能${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }\,\!}$ 的改變，以方程式表達，

${\displaystyle K_{\mathrm {rot} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2}\,\!}$ 。

功率是單位時間內所做的機械功。對於旋轉運動，功率${\displaystyle P\,\!}$ 以方程式表達為

${\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\,\!}$ 。

請注意，力矩注入的功率只跟瞬時角速度有關，而角速度是否在增加中，或在減小中，或保持不變，功率都與這些狀況無關。

實際上，在與大型輸電網路相連接的發電廠裏，可以觀察到這關係。發電廠的發電機的角速度是由輸電網路的頻率設定，而發電廠的功率輸出是由作用於發電機轉動軸的力矩所決定。

在計算功率時，必須使用一致的單位。採用國際單位制，功率的單位是瓦特，力矩的單位是牛頓-米，角速度的單位是每秒弧度（不是每分鐘轉速rpm，也不是每秒鐘轉速）。

力矩原理

力矩原理闡明，幾個作用力施加於某位置所產生的力矩的總和，等於這些作用力的合力所產生的力矩。力矩原理又名伐里農定理(Varignon's theorem)^[11]（以法国科学家兼神父皮埃爾·伐里農命名），以方程式表達，

${\displaystyle (\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{1})+(\mathbf {r} \times \mathbf {F} _{2})+\cdots =\mathbf {r} \times (\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots )\,\!}$ 。

参考文献

1. https://terms.naer.edu.tw/detail/09e3fa45b1d9fac0d25d6a44e794f576/?seq=2
2. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容于2023-05-19）. 
3. Serway, R. A. and Jewett, Jr. J. W. (2003). Physics for Scientists and Engineers. 6th Ed. Brooks Cole. ISBN 978-0-534-40842-8.
4. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容于2023-05-19）. 
5. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容于2023-05-19）. 
6. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容于2023-05-19）. 
7. 存档副本. [2023-05-19]. （原始内容于2023-05-19）. 
8. *喬治亞州州立大學（Georgia State University）線上物理網頁：力矩的右手定則, [2007-09-08], （原始内容于2007-08-19） 
9. , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2007-05-19） 
10. , Bureau International des Poids et Mesures, 2006 [2007-04-01], （原始内容存档于2005-03-16） 
11. Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64

延伸阅读

• Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 978-0-7167-0809-4. 

參閱

• 馬力
• 扭力轉換器
• 刚体动力学
• 機械平衡（mechanical equilibrium）
• 扭矩扳手（torque wrench）

外部链接

• 模擬力矩平衡的Java小程式（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Torque and Angular Momentum in Circular Motion （页面存档备份，存于互联网档案馆） on Project PHYSNET（页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Torque Unit Converter（页面存档备份，存于互联网档案馆）