戴德金和

戴德金和（Dedekind sum）是德國數學家理查德·戴德金在跟戴德金η函數有關的工作中提出的。

定義這個函數，首先要定義${\displaystyle ((x))}$：若${\displaystyle x}$是整數，${\displaystyle ((x))=0}$，否則為${\displaystyle x-[x]-0.5}$，其中${\displaystyle [x]}$是最大而又不大於${\displaystyle x}$的整數。

對於非零整數${\displaystyle h,k}$，戴德金和${\displaystyle s(h,k)}$定義為 ${\displaystyle s(h,k)=\sum _{\mu =0}^{k-1}(({\frac {\mu }{k}}))(({\frac {h\mu }{k}}))}$

若${\displaystyle h,k}$互質且均大於0，有${\displaystyle s(h,k)={\frac {1}{4k}}\sum _{\mu =1}^{k-1}\cot \left({\frac {\pi h\mu }{k}}\right)\cot \left({\frac {\pi \mu }{k}}\right)}$

公式

• 有公因數時：${\displaystyle s(ch,ck)=s(h,k)}$ 
• Petersson-Knopp恆等式：${\displaystyle \sum _{d|n}\sum _{m=0}^{d-1}s\left({\frac {n}{d}}h+mk,kd\right)=\sigma (n)s(h,k)}$ ，${\displaystyle \sigma (n)}$ 為因數函數，是${\displaystyle n}$ 的正因數之和。其中一個較易證明的特例為當${\displaystyle p}$ 為質數，${\displaystyle (p+1)s(h,k)=s(ph,k)+\sum _{m=0}^{p-1}s(h+mk,pk)}$ 
• 周期性：${\displaystyle s(nk+h,k)=s(h,k)}$ 
• 若${\displaystyle pq\equiv 1{\pmod {k}}}$ ，${\displaystyle s(p,k)=s(q,k)}$ 。
• ${\displaystyle s(1,k)={\frac {(k-1)(k-2)}{12k}}}$ 
• 若${\displaystyle k}$ 為奇數，${\displaystyle s(2,k)={\frac {(k-1)(k-5)}{24k}}}$ 
• 對於${\displaystyle k\equiv 1{\pmod {h}}}$ ，${\displaystyle 12hks(h,k)=(k-1)(k-(h^{2}+1))}$ 
• 對於${\displaystyle k\equiv 2{\pmod {h}}}$ ，${\displaystyle 12hks(h,k)=(k-2)(k-(h^{2}+1)/2)}$ 
• 對於${\displaystyle k\equiv -1{\pmod {h}}}$ ，${\displaystyle 12hks(h,k)=k^{2}+(h^{2}-6h+2)k+(h^{2}+1)}$ 
• 互反和：

${\displaystyle s(h,k)+s(k,h)=-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}\left({\frac {h}{k}}+{\frac {1}{hk}}+{\frac {k}{h}}\right)}$ 

參考

• http://mathworld.wolfram.com/DedekindSum.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://arxiv.org/abs/math/0112077 （页面存档备份，存于互联网档案馆）