循環單位

在趣味數學中，循環單位是由1組成的數如1, 11, 111, 1111等。

1966年，A.H. Beiler稱這類數為repunit，表示repeated unit。

對於n≥1，循環單位可以這樣定義：

${\displaystyle R_{n}^{(b)}={b^{n}-1 \over b-1}\qquad \,\!}$

亦可以用遞歸的方法：

${\displaystyle R_{0}=0\,\!}$

${\displaystyle R_{n}=bR_{n-1}+1\,\!}$

其中${\displaystyle b\,\!}$是进位制的底。在這篇文章，循環單位都是指十进制中的。

循環單位的平方

${\displaystyle R_{1}\,\!}$ 至${\displaystyle R_{b}\,\!}$ 的循環單位，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方有一個很有趣的性質，它們都會得出由1到${\displaystyle n\,\!}$ 的數字順序組成的回文数。例如十进制中的：

 1×1 = 1 11×11 = 121 111×111 = 12321 1111×1111 = 1234321 11111×11111 = 123454321 111111×111111 = 12345654321 1111111×1111111 = 1234567654321 11111111×11111111 = 123456787654321 111111111×111111111=12345678987654321 

而上述原則於十進制，只在${\displaystyle n<10\,\!}$ 的情況下才能生效，因為在${\displaystyle n>9\,\!}$ 的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方已經不能組成迴文數。例如：

 11111111111×1111111111 = 1234567900987654321 111111111111×11111111111 = 123456790120987654321 1111111111111×111111111111 = 12345679012320987654321 11111111111111×1111111111111 = 1234567901234320987654321 111111111111111×11111111111111 = 123456790123454320987654321 1111111111111111×111111111111111 = 12345679012345654320987654321 11111111111111111×1111111111111111=1234567901234567654320987654321 ... 

雖然在${\displaystyle 9<n<19\,\!}$ 的情況下，${\displaystyle R_{n}\,\!}$ 的平方不能組成迴文數，卻有著固定的結構：

1. 如果${\displaystyle n=10\,\!}$ ，前綴：123456790，後綴：0987654321
2. 如果${\displaystyle n>10\,\!}$ ，前綴：123456790，中段：從1開始順序數數，直至得出${\displaystyle n\,\!}$ 與9的差，再倒數至2，後綴：0987654321

循環單位質數

當${\displaystyle n}$ 能被大於1的${\displaystyle k}$ 整除時，${\displaystyle R_{k}|R_{n}}$ （例如${\displaystyle 111111111=111\times 1001001}$ ），因此若${\displaystyle R_{n}}$ 是質數，${\displaystyle n}$ 必須是質數。

現在已知${\displaystyle n=2,19,23,317,1031}$ 時，${\displaystyle R_{n}}$ 是質數，而${\displaystyle n=49081,86453,109297,270343,5794777,8177207}$ 的${\displaystyle R_{n}}$ 則可能是偽素數，${\displaystyle R_{8177207}}$ 是目前已知最大的可能質數（英语：probable prime）。

號碼	n	年份	發現者
1	2	－	－
2	19	－	－
3	23	－	－
4	317	1978年	Williams, Dubner
5	1031	1986年	Dubner
6	49081	1999年	Dubner
7	86453	2000年	Baxter
8	109297	2007年	Bourdelais, Dubner
9	270343	2007年	Voznyy, Budnyy
10	5794777	2021年	Batalov, Propper
11	8177207	2021年	Batalov, Propper

參見

• 循環單位因數表