弗罗比尼乌斯内积, 此條目没有列出任何参考或来源, 2019年3月8日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充, 若您熟悉来源语言和主题, 请协助参考外语维基百科扩充条目, 请勿直接提交机械翻译, 也不要翻译不可靠, 低品质内容, 依版权协议, 译文需在编辑摘要注明来源, 或于讨论页顶部标记, href, template, translated, page, html, title, templa. 此條目没有列出任何参考或来源 2019年3月8日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 此條目可参照英語維基百科相應條目来扩充 若您熟悉来源语言和主题 请协助参考外语维基百科扩充条目 请勿直接提交机械翻译 也不要翻译不可靠 低品质内容 依版权协议 译文需在编辑摘要注明来源 或于讨论页顶部标记 a href Template Translated page html title Template Translated page Translated page a 标签 在数学中 弗罗比尼乌斯内积是一种基于两个矩阵的二元运算 结果是一个数值 它常常被记为 A B F displaystyle langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F 这个运算是一個將矩陣視為向量的逐元素内积 参与运算的两个矩阵必须有相同的维度 行数和列数 但不局限于方阵 目录 1 定义 1 1 性质 2 样例 2 1 实矩阵 2 2 复矩阵 3 弗罗比尼乌斯范数 4 參考資料 5 相關條目定义 编辑给定两个n m维複矩阵 A和B A A 11 A 12 A 1 m A 21 A 22 A 2 m A n 1 A n 2 A n m B B 11 B 12 B 1 m B 21 B 22 B 2 m B n 1 B n 2 B n m displaystyle mathbf A begin pmatrix A 11 amp A 12 amp cdots amp A 1m A 21 amp A 22 amp cdots amp A 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots A n1 amp A n2 amp cdots amp A nm end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix B 11 amp B 12 amp cdots amp B 1m B 21 amp B 22 amp cdots amp B 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots B n1 amp B n2 amp cdots amp B nm end pmatrix nbsp 弗罗比尼乌斯内积定义为如下的矩阵元素求和 A B F i j A i j B i j t r A T B displaystyle langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F sum i j overline A ij B ij mathrm tr left overline mathbf A T mathbf B right nbsp 其中上划线表示复数和複矩阵的共轭操作 若將定義詳細寫出 則有 A B F A 11 B 11 A 12 B 12 A 1 m B 1 m A 21 B 21 A 22 B 22 A 2 m B 2 m A n 1 B n 1 A n 2 B n 2 A n m B n m displaystyle begin aligned langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F amp overline A 11 B 11 overline A 12 B 12 cdots overline A 1m B 1m amp overline A 21 B 21 overline A 22 B 22 cdots overline A 2m B 2m amp vdots amp overline A n1 B n1 overline A n2 B n2 cdots overline A nm B nm end aligned nbsp 此計算與點積十分相似 所以是一個內積的範例 性质 编辑 弗罗比尼乌斯内积是半双线性形式 给定複矩阵A B C D 以及复数a和b 我们有 a A b B F a b A B F displaystyle langle a mathbf A b mathbf B rangle mathrm F overline a b langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F nbsp A C B D F A B F A D F C B F C D F displaystyle langle mathbf A mathbf C mathbf B mathbf D rangle mathrm F langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F langle mathbf A mathbf D rangle mathrm F langle mathbf C mathbf B rangle mathrm F langle mathbf C mathbf D rangle mathrm F nbsp 并且 交换複矩阵的次序所得到的是原来结果的共轭矩阵 B A F A B F displaystyle langle mathbf B mathbf A rangle mathrm F overline langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F nbsp 对于相同的矩阵 有 A A F 0 displaystyle langle mathbf A mathbf A rangle mathrm F geq 0 nbsp 样例 编辑实矩阵 编辑 给定实矩阵 A 2 0 6 1 1 2 B 8 3 2 4 1 5 displaystyle mathbf A begin pmatrix 2 amp 0 amp 6 1 amp 1 amp 2 end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix 8 amp 3 amp 2 4 amp 1 amp 5 end pmatrix nbsp 则 A B F 2 8 0 3 6 2 1 4 1 1 2 5 16 12 4 1 10 21 displaystyle begin aligned langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F amp 2 cdot 8 0 cdot 3 6 cdot 2 1 cdot 4 1 cdot 1 2 cdot 5 amp 16 12 4 1 10 amp 21 end aligned nbsp 复矩阵 编辑 给定复矩阵 A 1 i 2 i 3 5 B 2 3 i 4 3 i 6 displaystyle mathbf A begin pmatrix 1 i amp 2i 3 amp 5 end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix 2 amp 3i 4 3i amp 6 end pmatrix nbsp 那么它们的共轭 非转置 矩阵为 A 1 i 2 i 3 5 B 2 3 i 4 3 i 6 displaystyle overline mathbf A begin pmatrix 1 i amp 2i 3 amp 5 end pmatrix quad overline mathbf B begin pmatrix 2 amp 3i 4 3i amp 6 end pmatrix nbsp 因此 A B F 1 i 2 2 i 3 i 3 4 3 i 5 6 2 2 i 6 12 9 i 30 26 7 i displaystyle begin aligned langle mathbf A mathbf B rangle mathrm F amp 1 i cdot 2 2i cdot 3i 3 cdot 4 3i 5 cdot 6 amp 2 2i 6 12 9i 30 amp 26 7i end aligned nbsp 但注意 B A F 2 1 i 3 i 2 i 4 3 i 3 6 5 26 7 i displaystyle begin aligned langle mathbf B mathbf A rangle mathrm F amp 2 cdot 1 i 3i cdot 2i 4 3i cdot 3 6 cdot 5 amp 26 7i end aligned nbsp A B与其本身的弗罗比尼乌斯内积分别为 A A F 2 4 9 25 40 displaystyle langle mathbf A mathbf A rangle mathrm F 2 4 9 25 40 nbsp B B F 4 9 25 36 74 displaystyle langle mathbf B mathbf B rangle mathrm F 4 9 25 36 74 nbsp 弗罗比尼乌斯范数 编辑从弗罗比尼乌斯内积我们可以诱导出弗罗比尼乌斯范数 A F A A F displaystyle mathbf A mathrm F sqrt langle mathbf A mathbf A rangle mathrm F nbsp 參考資料 编辑相關條目 编辑阿達瑪乘積 矩陣 希尔伯特 施密特算子 克罗内克积 矩陣分析 英语 Matrix analysis 矩陣乘法 矩陣範數 nbsp 这是一篇数学分析相关小作品 你可以通过编辑或修订扩充其内容 查论编 取自 https zh wikipedia org w index php title 弗罗比尼乌斯内积 amp oldid 69852432, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,