Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
行進 31, 2023
序數算術, 我們可在序數上定義若干算術運算, 這是對自然數運算的推廣, 目录, 加法, 乘法, 康托尔范式, 參考條目, 引用加法, 编辑給出序數, 定義以下的良序關係, 假設, 不相交, 這等於考慮, 的元素定義為小於, 的元素, 這良序集對應的序數記作, 稱為序數和, 序數和適合結合律, 第一個超窮序數是, 自然數集的序數, 就像, 這不同於, 只有, 沒有直接前導者, 而在, 都沒有直接前導者, 就像, 稍一留心, 會發覺這與, 沒有分別, 是以, 就像, 卻是不同於, 原因它有個最大元, 是以序數和不符交換. 我們可在序數上定義若干算術運算 這是對自然數運算的推廣 目录 1 加法 2 乘法 3 幂 4 康托尔范式 5 參考條目 6 引用加法 编辑給出序數 S 與 T 在 s 0 s S t 1 t T 定義以下的良序關係 a d lt b b d lt b 或 d b 而 a lt b 假設 S 與 T 不相交 這等於考慮 S T 而 S 的元素定義為小於 T 的元素 這良序集對應的序數記作 S T 稱為序數和 序數和適合結合律 即 S T R S T R 第一個超窮序數是 w 自然數集的序數 w w 就像 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt lt 0 lt 1 lt 2 lt 這不同於 w 在 w 只有 0 沒有直接前導者 而在 w w 0 and 0 都沒有直接前導者 3 w 就像 0 lt 1 lt 2 lt 0 lt 1 lt 2 lt 稍一留心 會發覺這與 w 沒有分別 是以 3 w w 而 w 3 就像 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt lt 0 lt 1 lt 2 卻是不同於 w 原因它有個最大元 是以序數和不符交換律 讀者可試證 w 4 w w 4 w w w 乘法 编辑給出序數 S 與 T 在笛卡儿积 S T上定義以下的良序關係 a d lt b b d lt b 或 d b 而 a lt b 對應的序數記作 ST 稱為序數積 序數積適合結合律 即 ST R S TR 序數積也不符合交換律 舉例 w2 就像 00 lt 10 lt 20 lt 30 lt lt 01 lt 11 lt 21 lt 31 lt 於是 w2 w w 但 2w 卻是 00 lt 10 lt 01 lt 11 lt 02 lt 12 lt 03 lt 13 lt 可見 2w w w2 分配律只是部分成立 有 R S T RS RT 但沒有 T U R TR UR 1 1 w 2w w 但 1w 1w w w 幂 编辑給出序數 S 與 T 幂數 ST 是指 SR R lt T 的最小上界 當然有 S0 1 S1 S S2 S S S3 S S S 第一個無限序數是 w 第一個不能由 w 有限引伸而成的序數是 e0 對多數利用超窮歸納法的證明 e0已經足夠 要知道 ϵ 0 w w w displaystyle epsilon 0 omega omega omega cdots 且 ϵ 0 w ϵ 0 displaystyle epsilon 0 omega epsilon 0 康托尔范式 编辑任一序數 a gt 0 displaystyle alpha gt 0 可以寫成 w b 1 c 1 w b 2 c 2 w b k c k displaystyle omega beta 1 c 1 omega beta 2 c 2 ldots omega beta k c k 當中 k c 1 c 2 c k displaystyle k c 1 c 2 ldots c k 為正整數而 b 1 gt b 2 gt gt b k 0 displaystyle beta 1 gt beta 2 gt ldots gt beta k geq 0 為序數 此分解稱為 a displaystyle alpha 的康托尔范式 Cantor normal form 可以看作是個 w 進制的记数系统 而 b 1 displaystyle beta 1 叫作 a displaystyle alpha 的次數 一般來說 b 1 a displaystyle beta 1 leq alpha 但若然 a lt ϵ 0 displaystyle alpha lt epsilon 0 就有 b 1 lt a displaystyle beta 1 lt alpha 並可得出一個只有自然數及 ws 的表達式 注意 給出基數 S 與 T 基數也是序數 ST 代表的序數和它代表的基數是不同的 當然 T 是自然數時例外 最小的不可數序數記作 w1 參考條目 编辑首個不可數序數引用 编辑Jech Thomas 2003 Set Theory The Third Millennium Edition Revised and Expanded Springer ISBN 3 540 44085 2 Kunen Kenneth 1980 Set Theory An Introduction to Independence Proofs Elsevier ISBN 0 444 86839 9 取自 https zh wikipedia org w index php title 序數算術 amp oldid 56235075, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,