帕普斯定理, 提示, 此条目的主题不是帕普斯幾何中心定理, 设u, y和z为平面上6条直线, 如果, u与v的交点, x与w的交点, y与z的交点共线, u与z的交点, x与v的交点, y与w的交点共线, 则一定有, u与w的交点, x与z的交点, y与v的交点共线, 这个定理叫做帕普斯六角形定理, 英語, pappus, hexagon, theorem, 也就是说, 如果, displaystyle, langle, times, times, times, rangle, displaystyle, lang. 提示 此条目的主题不是帕普斯幾何中心定理 设U V W X Y和Z为平面上6条直线 如果 1 U与V的交点 X与W的交点 Y与Z的交点共线 且 2 U与Z的交点 X与V的交点 Y与W的交点共线 则一定有 3 U与W的交点 X与Z的交点 Y与V的交点共线 这个定理叫做帕普斯六角形定理 英語 Pappus s hexagon theorem 帕普斯定理也就是说 如果 U V X W Y Z 0 displaystyle langle U times V X times W Y times Z rangle 0 且 U Z X V Y W 0 displaystyle langle U times Z X times V Y times W rangle 0 则 U W X Z Y V 0 displaystyle langle U times W X times Z Y times V rangle 0 這個定理是帕斯卡定理的一個特例 當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候 目录 1 证明 1 1 第一步 1 2 第二步 1 3 第三步 1 4 第四步 1 5 第五步 2 参见证明 编辑设 a U V X W Y Z displaystyle alpha langle U times V X times W Y times Z rangle nbsp b U Z X V Y W displaystyle beta langle U times Z X times V Y times W rangle nbsp g U W X Z Y V displaystyle gamma langle U times W X times Z Y times V rangle nbsp 我们需要证明如果a displaystyle alpha nbsp 0且b displaystyle beta nbsp 0 则g displaystyle gamma nbsp 0 第一步 编辑 利用恒等式 A B C C A B B C A displaystyle langle A B C rangle langle C A B rangle langle B C A rangle nbsp 可将a displaystyle alpha nbsp b displaystyle beta nbsp 及g displaystyle gamma nbsp 表述为以下形式 a U V X W Y Z displaystyle alpha langle U times V X times W Y times Z rangle nbsp b Y W U Z X V displaystyle beta langle Y times W U times Z X times V rangle nbsp g X Z Y V U W displaystyle gamma langle X times Z Y times V U times W rangle nbsp 第二步 编辑 利用恒等式 A B C A B C displaystyle langle A B C rangle A cdot B times C nbsp A B C A C B A B C displaystyle A times B times C A cdot C B A cdot B C nbsp 可得 a U V X W Y Z displaystyle alpha U times V cdot X times W times Y times Z nbsp b Y W U Z X V displaystyle beta Y times W cdot U times Z times X times V nbsp g X Z Y V U W displaystyle gamma X times Z cdot Y times V times U times W nbsp 以及 a U V X W Z Y X W Y Z displaystyle alpha U times V cdot langle X W Z rangle Y langle X W Y rangle Z nbsp b Y W U Z V X U Z X V displaystyle beta Y times W cdot langle U Z V rangle X langle U Z X rangle V nbsp g X Z Y V W U Y V U W displaystyle gamma X times Z cdot langle Y V W rangle U langle Y V U rangle W nbsp 第三步 编辑 利用数量积的分配律 可得 a X W Z U V Y X W Y U V Z displaystyle alpha langle X W Z rangle langle U V Y rangle langle X W Y rangle langle U V Z rangle nbsp b U Z V Y W X U Z X Y W V displaystyle beta langle U Z V rangle langle Y W X rangle langle U Z X rangle langle Y W V rangle nbsp g Y V W X Z U Y V U X Z W displaystyle gamma langle Y V W rangle langle X Z U rangle langle Y V U rangle langle X Z W rangle nbsp 第四步 编辑 利用恒等式 A B C C A B B C A displaystyle langle A B C rangle langle C A B rangle langle B C A rangle nbsp A B C A C B C B A B A C displaystyle langle A B C rangle langle A C B rangle langle C B A rangle langle B A C rangle nbsp 可得 a X W Z U V Y X W Y U V Z displaystyle alpha langle X W Z rangle langle U V Y rangle langle X W Y rangle langle U V Z rangle nbsp b U Z X Y W V X W Y U V Z displaystyle beta langle U Z X rangle langle Y W V rangle langle X W Y rangle langle U V Z rangle nbsp g U Z X Y W V X W Z U V Y displaystyle gamma langle U Z X rangle langle Y W V rangle langle X W Z rangle langle U V Y rangle nbsp 第五步 编辑 把这些等式相加 得 a b g 0 displaystyle alpha beta gamma 0 nbsp g a b displaystyle gamma alpha beta nbsp 因此 如果a displaystyle alpha nbsp 0且b displaystyle beta nbsp 0 则g displaystyle gamma nbsp 0 证毕 参见 编辑布列安桑定理 帕斯卡定理 笛沙格定理 取自 https zh wikipedia org w index php title 帕普斯定理 amp oldid 69241901, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,