巴塔林-维尔可维斯基代数

Batalin-Vilkovisky代数（Batalin–Vilkovisky formalism，简称BV代数）是Batalin和Vilkovisky在研究规范场的量子化过程中发现的一种代数结构^[1][2]。他们所提出的量子化方法（称为BV formailism或者BV quantization），是一种十分普遍而且有效的量子化方法，正受到越来越多的量子场论学家和弦理论家的重视和应用，而BV代数也越来越受到数学家们的重视。

定义

设${\displaystyle \;V\;}$ 是数域${\displaystyle \;k\;}$ 上的一个分次(graded)线性空间。${\displaystyle \;V\;}$ 上的一个BV代数结构是三元组${\displaystyle \;(V,\bullet ,\Delta )\;}$ ，满足以下两个关系：

1. ${\displaystyle \;(V,\bullet )\;}$ 是${\displaystyle \;k\;}$ 上的分次、交换、结合的代数(algebra)；
2. ${\displaystyle \;\Delta \;}$ 是关于${\displaystyle \;\bullet \;}$ 的二阶微分算子，即${\displaystyle \;\Delta \;}$ 的度数为1，${\displaystyle \;\Delta ^{2}=0\;}$ ，并且对任给的${\displaystyle \;a,b,c\in V\;}$ ,

${\displaystyle \;{\begin{matrix}\Delta (a\bullet b\bullet c)&=&\Delta (a\bullet b)\bullet c+(-1)^{|a|}a\bullet \Delta (b\bullet c)+(-1)^{(|a|+1)|b|}b\bullet \Delta (a\bullet c)\\&&-(\Delta a)\bullet b\bullet c-(-1)^{|a|}a\bullet (\Delta b)\bullet c-(-1)^{|a|+|b|}a\bullet b\bullet (\Delta c).\;\end{matrix}}}$ 

在上面的定义中，如果令

${\displaystyle \;[a,b]=(-1)^{|a|}\Delta (a\bullet b)-(-1)^{|a|}(\Delta a)\bullet b-a\bullet (\Delta b),\;}$ 

则可以验证，${\displaystyle \;(V,\bullet ,[\;,\;])\;}$ 形成一个Gerstenhaber代数。因此可以说，BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数。不仅如此，${\displaystyle \;\Delta \;}$ 还是关于${\displaystyle \;[\;,\;]\;}$ 的导子(derivation)，即

${\displaystyle \;\Delta [a,b]=[\Delta a,b]+(-1)^{|a|+1}[a,\Delta b],\;}$ 

使得${\displaystyle \;(V,[\;,\;],\Delta )}$ 形成一个微分分次李代数(differential graded Lie algebra, DGLA)。

例子

迄今为止所发现的BV代数的例子几乎都与数学物理有关。

1. 设${\displaystyle \;M\;}$ 是一个奇的辛流形(odd symplectic manifold)，记${\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}$ 为${\displaystyle \;M\;}$ 上光滑函数组成的集合。我们有${\displaystyle \;C^{\infty }(M)\;}$ 形成一个分次交换结合的代数，记其乘法为${\displaystyle \;\bullet \;}$ 。设${\displaystyle \;(x^{1},\cdots ,x^{n};\eta ^{1},\cdots ,\eta ^{n})\;}$ 为${\displaystyle \;M\;}$ 上的一组Darboux坐标，令
   ${\displaystyle \;\Delta =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial \eta ^{i}}},\;}$ 
   则可以验证，${\displaystyle \;(C^{\infty }(M),\bullet ,\Delta )\;}$ 形成一个BV代数，参见^[3][4]；
2. 田刚(G. Tian)在关于卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)的复结构的形变空间是光滑的证明中，实际上证明了控制复结构形变的微分分次李代数是一个BV代数^[5]；
3. B. Lian和G. Zuckerman证明了量子场论的数学背景(background，指从量子场论中抽象出来的代数结构)有一个BV代数结构^[6]；
4. E. Getzler用不同于Lian和Zuckerman的方法证明，一个二维拓扑共形场论(TCFT，此处采用Segal的定义)的同调群有一个自然的BV代数结构^[7]；
5. M. Chas和D. Sullivan证明，一个流形的自由环路空间(free loop space)的同调群上有一个BV代数结构^[8]。

背景

正如上面所述，BV代数跟量子场论有密切的联系。事实上，对一些数学物理学家来说，一个量子场论就指一个BV代数以及其中一个元素${\displaystyle \;S\;}$ ，该元素满足以下方程：

${\displaystyle \;\Delta e^{S}=0\quad {\Big (}\;}$ 等价于${\displaystyle \;\Delta S+{\frac {1}{2}}[S,S]=0{\Big )},\;}$ 

称为Master方程，有时候${\displaystyle \;S\;}$ 必须满足所谓的量子Master方程，即

${\displaystyle \;\Delta e^{\frac {S}{\hbar }}=0.\;}$ 

另外，BV代数跟弦理论里面的镜像对称(Mirror Symmetry)也有密切的关系。事实上，镜像对称的A模型和B模型都有一个BV代数，而它们相应的Master方程的解空间上都有一个所谓弗罗贝尼乌斯流形的结构。镜像对称的一种表述就是，这两个Frobenius流形是同构的。

BV代数的研究是目前数学特别是数学物理中一个比较活跃的领域，关于它的研究仍在进行之中。

参考文献

1. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Gauge algebra and quantization. Phys. Lett. B 102 (1981), no. 1, 27-31.
2. I.A. Batalin and G.A. Vilkovisky, Quantization of gauge theories with linearly dependent generators. Phys. Rev. D (3) 28 (1983), no. 10, 2567-2582.
3. A. Schwarz, Geometry of Batalin-Vilkovisky quantization, arxiv: hep-th/9205088
4. D. Fiorenza, An introduction to the Batalin-Vilkovisky formalism, arxiv: math.QA/0402057
5. G. Tian, Smoothness of the universal deformation space of compact Calabi-Yau manifolds and its Petersson-Weil metric. Mathematical aspects of string theory (San Diego, Calif., 1986), 629-646, Adv. Ser. Math. Phys., 1, World Sci. Publishing, Singapore, 1987.
6. B. Lian and G. Zuckerman, New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
7. E. Getzler, Batalin-Vilkovisky algebras and two-dimensional topological field theories. Comm. Math. Phys. 159 (1994), no. 2, 265-285.
8. M. Chas and D. Sullivan, String topology, arxiv: math-GT/9911159.