山邊問題

山邊（Yamabe）問題是微分幾何的問題，得名自山邊英彥。雖然山邊英彥在1960年初宣稱得到解答，他的證明中一個關鍵錯誤在1968年被尼爾·特魯丁格發現，而山邊英彥已在1960年底逝世。後來陸續由尼爾·特魯丁格、蒂埃里·奧班、理查德·舍恩研究，山邊問題在1984年得到完全解決。

問題

給出維數${\displaystyle n\geq 3}$ 的光滑緊緻流形${\displaystyle M}$ 及黎曼度量${\displaystyle g}$ ，是否必然存在共形於${\displaystyle g}$ 的度量${\displaystyle g'}$ ，使得${\displaystyle g'}$ 的數量曲率為常數？換言之，${\displaystyle M}$ 上是否存在光滑函數${\displaystyle f}$ ，使得 ${\displaystyle g'=e^{2f}g}$ 有常數量曲率？

現已知道確有如此度量，證明使用了微分幾何、偏微分方程、泛函分析的技巧。

非緊緻情形

推廣到非緊緻流形上的山邊問題是：在非緊緻的光滑完備黎曼流形${\displaystyle (M,g)}$ ，是否必然存在共形度量${\displaystyle g'}$ ，使數量曲率為常數，且流形仍為完備？這問題的答案為否，Jin Zhiren發現其反例。

參考

• Lee, J.; Parker, T., The Yamabe problem, Bulletin of the American Mathematical Society, 1987, 17: 37–81 .
• Trudinger, Neil S., Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1968, 22: 265–274 [2013-09-01], MR 0240748, （原始内容于2012-10-27） 
• Yamabe, Hidehiko, On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds, Osaka Journal of Mathematics, 1960, 12: 21–37 [2013-09-01], ISSN 0030-6126, MR 0125546, （原始内容于2016-02-03） 
• Jin, Zhiren, A counterexample to the Yamabe problem for complete noncompact manifolds, Partial differential equations (Tianjin, 1986), Lecture Notes in Math. 1306, Berlin, New York: Springer-Verlag: 93–101, 1988, MR 1032773, doi:10.1007/BFb0082927 
• 鄭日新. Rick Schoen, Yamabe 問題與正質量定理 (PDF). 數學傳播. 2000年12月, 24 (4): 63–67 [2013-09-01]. （原始内容 (PDF)于2016-03-04）.