容度

在數學中，容度是位勢論裡描述一個集合大小的概念。

定義

一如測度之於測度論，容度在某種意義下描述一個集合的大小。容度出現在許多數學領域中，特別是逼近理論或複分析。它的起源則與靜電學中電容的概念有關。

對於 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\;(n\geq 2)}$  上一個有限且帶緊支集的博雷尔测度 μ ，可以抽象地定義相應的位勢函數：

${\displaystyle p_{\mu }(z)=\int {\frac {\mathrm {d} \mu (w)}{|z-w|^{n-2}}}}$ 

這裡的 μ 在物理上可以想像成一個 ${\displaystyle n}$  維世界裡的電荷分佈——至少在 ${\displaystyle n=3}$  時吻合靜電學。μ 的能量則抽象地定義為位勢的總和：

${\displaystyle I(\mu )=\iint |z-w|^{n-2}\;\mathrm {d} \mu (w)\;\mathrm {d} \mu (z)}$ 

當 n=2 時，兩個定義中的 ${\displaystyle |z-w|^{n-2}}$  都改取 ${\displaystyle \log |z-w|}$ 

設 ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{n}}$  為緊集，其容度定義作

${\displaystyle C(K):={\dfrac {1}{\inf _{\mu }I(\mu )}}}$ 

其中的下確界取遍支集在 ${\displaystyle K}$  上的所有博雷尔機率測度 μ。

二維情形

在一個黎曼曲面 M 上給定一點 ${\displaystyle p}$ 。若存在一個以 ${\displaystyle p}$  為極點的格林函數，則它在 ${\displaystyle p}$  點的一個夠小開鄰域 Ω 上有唯一表法

${\displaystyle g_{p}(x)=\log |x-p|+h_{p}(x)}$ 

其中 ${\displaystyle h_{p}}$  是 ${\displaystyle \Omega -\{p\}}$  上的調和函數。

此時 ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow p}h_{p}(x)}$  決定 ${\displaystyle M-\Omega }$  的容度。這些量能用來分類黎曼曲面。根據 ${\displaystyle M}$  的曲率，可以用雙曲距離或球面距離取代上述定義中的歐氏距離 ${\displaystyle d(z,w)=|z-w|}$ ，由此可得到雙曲容量與球面容度（或稱橢圓容度）。

文獻

• E.D. Solomentsev, Capacity, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• E.D. Solomentsev, Robin constant, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• J. L. Doob. Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-41206-9.