婆羅摩笈多公式

歐氏平面幾何中，婆羅摩笈多公式是用以計算圓內接四邊形的面積的公式，以印度數學家婆羅摩笈多之名命名。一般四邊形的面積公式請見布雷特施奈德公式。

基本形式

婆羅摩笈多公式的最簡單易記的形式，是圓內接四邊形面積計算。若圓內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，則其面積為：

${\displaystyle {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$ 

其中s為半周長：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ 

证明

 

圆内接四边形的面积 = ${\displaystyle \triangle ADB}$ 的面积 + ${\displaystyle \triangle BDC}$ 的面积

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}$ 

但由于${\displaystyle ABCD}$ 是圆内接四边形，因此${\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}$ 。故${\displaystyle \sin A=\sin C}$ 。所以：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}$ 

${\displaystyle ({\mbox{Area}})^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}$ 

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}$ 

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}.\,}$ 

对${\displaystyle \triangle ADB}$ 和${\displaystyle \triangle BDC}$ 利用余弦定理，我们有：

${\displaystyle DB^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.\,}$ 

代入${\displaystyle \cos C=-\cos A}$ （这是由于${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle C}$ 是互补角），并整理，得：

${\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.\,}$ 

把这个等式代入面积的公式中，得：

${\displaystyle 4({\mbox{Area}})^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}$ 

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2},\,}$ 

它是${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$ 的形式，因此可以写成${\displaystyle (a+b)(a-b)}$ 的形式：

${\displaystyle (2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})(2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2})\,}$ 

${\displaystyle =[(p+q)^{2}-(r-s)^{2}][(r+s)^{2}-(p-q)^{2}]\,}$ 

${\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p).\,}$ 

引入${\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}}}$ ，

${\displaystyle 16({\mbox{Area}})^{2}=16(T-p)(T-q)(T-r)(T-s).\,}$ 

两边开平方，得：

${\displaystyle {\mbox{Area}}={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}.}$ 

证毕。

更特殊情況

若圓O的圆內接四邊形的四邊長為a, b, c, d，且外切于圆C，則其面積為：

${\displaystyle {\sqrt {abcd}}}$ 

证明

由于四边形内接于圆O，所以：

${\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}}$ 

其中p為半周長：

${\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}}$ 

又因为四边形外切圆C，所以：

${\displaystyle a+c=b+d}$ 

则：

${\displaystyle p-a={\frac {b+c+d-a}{2}}={\frac {a+c+c-a}{2}}=c}$ 

同理:

${\displaystyle p-b=d}$ ， ${\displaystyle p-c=a}$ ， ${\displaystyle p-d=b}$ 

综上：

${\displaystyle S={\sqrt {abcd}}}$ 

证毕。

一般情況

布雷特施奈德公式

對一般四邊形的面積有布雷特施奈德公式，其敘述如下：

${\displaystyle {\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}$ 

其中 ${\displaystyle \theta }$  是四邊形一對對角和的一半。

注意到不論取到哪一對對角 ${\displaystyle \cos ^{2}\theta }$  的值都一樣，因為四邊形的內角和是 ${\displaystyle 2\pi }$ ，故如果選取到的是另一對角，其對角和的一半是 ${\displaystyle \pi -\theta }$ 。而 ${\displaystyle \cos(\pi -\theta )=-\cos \,\theta }$ ，所以有 ${\displaystyle \cos ^{2}(\pi -\theta )=\cos ^{2}\theta }$ 。

假設此時四邊形恰好四頂點共圓，由於圓內接四邊形的對角和為 ${\displaystyle \pi }$ ，因此 ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2}}$ ，而且由 ${\displaystyle \cos \,{\pi \over 2}=0}$ ，可推得此時 ${\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =0}$ ，布雷特施奈德公式恰好退化回婆羅摩笈多公式。

柯立芝公式

另一個由柯立芝所證明的公式如下^[1]：

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}\,}$ 

其中 p 及 q 為四邊形對角線之長。在圓內接四邊形中，根據托勒密定理我們有${\displaystyle pq=ac+bd}$ ，此公式退化回為婆羅摩笈多公式。

相關定理

海倫公式給出三角形的面積。它是婆羅摩笈多公式取${\displaystyle d=0}$ 的特殊情形。

婆羅摩笈多公式的基本形式和擴充形式，就像由勾股定理擴充至餘弦定理一般。

1. J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) pp. 345-347.