天使问题

天使问题是由英国数学家约翰·何顿·康威提出的一个博弈论问题^[1]，在2006年已獲解答。

图中棋盘区域中央为天使，当天使力量为 3 时，其当前可移动区域被蓝色点画线围起

陳述

天使问题是關於一個叫天使與惡魔的雙人遊戲，其規則如下：

1. 兩名玩家分別扮演天使和惡魔
2. 遊戲開始前，指定一個正整數 K，稱之為天使的力量
3. 游戏在一个无限大的方格棋盘上进行；开始时棋盘是空的，天使停留在棋盘上的某一个方格（称为天使的起始点），恶魔并不存在于棋盘上
4. 每一轮中，恶魔可以在棋盘上放置一个路障，路障不可以放置在天使停留处
5. 每一轮中，天使可以向相邻格移动至多 K 步，移动过程中可以穿过路障，但移动终点必须停留在没有路障的格中；纵横斜格均算作相邻格
6. 从恶魔开始，双方交替进行（若从天使开始，从上面的规则描述，亦可等价转换为从恶魔开始的局面）
7. 若在一轮中，天使无法移动，则恶魔获胜
8. 如果天使能够无限地继续游戏，则天使获胜

天使問題可以陳述為：

是否存在某個K，使得力量為K的天使擁有必勝策略？

已知的证明

二維

• K = 1 时，恶魔有必胜策略（康威, 1982）
• 如果天使不可以降低其 y 坐标，则恶魔有必胜策略（康威, 1982）
• 如果天使一直增加它到起始点的距离，则恶魔有必胜策略（康威, 1996）

在2006年，有4位数学家獨立解決了天使问题。英國數學家布萊恩·鮑迪奇（Brian Bowditch） 證明了K = 4的時候，天使有必勝策略。^[2] 挪威數學家Oddvar Kloster 和 András Máthé 各自證明了K = 2的時候，天使有必勝策略。^[3][4]Péter Gács 則是證明了當 K 充分大時，天使有必勝策略。^[5]

參考來源

1. John H. Conway, The angel problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）, in: Richard Nowakowski (editor) Games of No Chance, volume 29 of MSRI Publications, pages 3–12, 1996.
2. Brian H. Bowditch. The angel game in the plane (PDF). [2014-06-16]. （原始内容 (PDF)于2016-03-04） （英语）. 
3. O. Kloster. (PDF). [2014-06-16]. （原始内容 (PDF)存档于2016-01-07） （英语）. 
4. András Máthé. The Angel of power 2 wins (PDF). [2014-06-16]. （原始内容 (PDF)于2016-10-13） （英语）. 
5. Péter Gács. THE ANGEL WINS (PDF). [2014-06-16]. （原始内容 (PDF)于2016-03-04） （英语）. 

外部連結