大步小步算法

在群论中，大步小步算法（英語：baby-step giant-step）是丹尼尔·尚克斯（英语：Daniel Shanks）发明的一种中途相遇算法，用于计算离散对数或者有限阿贝尔群的阶。^[1]其中离散对数问题在公钥加密领域有着非常重要的地位。

许多常用的加密系统都基于离散对数极难计算这一假设——计算越困难，这些系统提供的数据传输就越安全。增加离散对数计算难度的一种方法，是把密码系统建立在更大的群上。

理论

这是一种空间换时间的算法，实质上是求解离散对数的朴素算法（枚举并试乘）的一个相当简单的改进。

给出一个 ${\displaystyle n}$  阶循环群 ${\displaystyle G}$  、该群的一个生成元 ${\displaystyle \alpha }$  和一个元素 ${\displaystyle \beta }$  。试找到一个整数 ${\displaystyle x}$  满足

${\displaystyle \alpha ^{x}=\beta \,.}$ 

大步小步算法把 ${\displaystyle x}$  代换成：

${\displaystyle x=im+j}$ 

${\displaystyle m=\left\lceil {\sqrt {n}}\right\rceil }$ 

${\displaystyle 0\leq i<m}$ 

${\displaystyle 0\leq j<m}$ 

于是有：

${\displaystyle \alpha ^{x}=\beta \,}$ 

${\displaystyle \alpha ^{im+j}=\beta \,}$ 

${\displaystyle \alpha ^{j}=\beta \left(\alpha ^{-m}\right)^{i}\,}$ 

该算法先对 ${\displaystyle j}$  的不同取值计算出 ${\displaystyle \alpha ^{j}}$  的值，然后固定一个 ${\displaystyle m}$  ，并对 ${\displaystyle i}$  尝试不同的取值,带入上面同余式的右边，看是否与某个（已经预先算出的）同余式左边的值相匹配。

算法

给出C++17版本的代码：

#include <cmath> #include <cstdint> #include <unordered_map> std::uint32_t pow_m(std::uint32_t base, std::uint32_t exp, std::uint32_t mod) {  // 这里需要实现快速幂算法 } ///计算满足 g^x % mod == h 的x std::optional<std::uint32_t> babystep_giantstep(std::uint32_t g, std::uint32_t h, std::uint32_t mod) {  const auto m = static_cast<std::uint32_t>(std::ceil(std::sqrt(mod)));  auto table = std::unordered_map<std::uint32_t, std::uint32_t>{};  auto e = std::uint64_t{1}; // 临时值可能大于32位整数的范围  for (auto i = std::uint32_t{0}; i < m; ++i) {  table[static_cast<std::uint32_t>(e)] = i;  e = (e * g) % mod;  }  const auto factor = pow_m(g, mod-m-1, mod);  e = h;  for (auto i = std::uint32_t{}; i < m; ++i) {  if (auto it = table.find(static_cast<std::uint32_t>(e)); it != table.end()) {  return {i*m + it->second};  }  e = (e * factor) % mod;  }  return std::nullopt; } 

延伸阅读

• H. Cohen, A course in computational algebraic number theory, Springer, 1996.
• D. Shanks, Class number, a theory of factorization and genera. In Proc. Symp. Pure Math. 20, pages 415—440. AMS, Providence, R.I., 1971.
• A. Stein and E. Teske, Optimized baby step-giant step methods, Journal of the Ramanujan Mathematical Society 20 (2005), no. 1, 1–32.
• A. V. Sutherland, Order computations in generic groups（页面存档备份，存于互联网档案馆）, PhD thesis, M.I.T., 2007.
• D. C. Terr, A modification of Shanks’ baby-step giant-step algorithm, Mathematics of Computation 69 (2000), 767–773. doi:10.1090/S0025-5718-99-01141-2

参考资料

1. Daniel Shanks, Class number, a theory of factorization and genera, In Proc. Symp. Pure Math. 20 (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1971, 20: 415—440 （英语）