大數假說

大數假說是由保羅·狄拉克在1937年提出的一個假設。他比較了兩個不帶因次的量值：基本作用力（在此為重力與電磁力）的比例與宇宙年齡的尺度，發現兩者皆落在約40個數量級。狄拉克猜測這可能並非巧合，兩者或許存在某種關聯性。基於這個假設，他設計了一個宇宙學的模型。

保羅·狄拉克

這個模型具有以下的特質：

• 重力常數反比於宇宙的年齡：${\displaystyle G\propto 1/t\,}$
• 宇宙帶有的質量正比於宇宙年齡的平方：${\displaystyle M\propto t^{2}}$

然而這兩個性質並不為目前主流的宇宙學理論所接受。

發展背景

狄拉克並非唯一一位注意到這種量值巧合的人。 對這類巧合的關注始於1919年，赫爾曼·外爾推測宇宙的半徑會等同於一個帶有電子重力自能量（self-energy）的粒子半徑^[1][2][3]：

${\displaystyle {\frac {r_{H}}{r_{e}}}\approx 10^{42}\approx {\frac {R_{U}}{r_{e}}}}$ ，

${\displaystyle r_{e}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{e}c^{2}}}}$ ，

${\displaystyle r_{H}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{H}c^{2}}}}$ ，

${\displaystyle m_{H}c^{2}={\frac {Gm_{e}^{2}}{r_{e}}}}$ 

其中 ${\displaystyle r_{e}}$  代表古典電子半徑，${\displaystyle m_{e}}$  為電子質量，${\displaystyle m_{H}}$  為假想粒子的質量，${\displaystyle r_{H}}$  則為其半徑， ${\displaystyle R_{H}}$  是可觀測宇宙的半徑。

這個理論被亞瑟·愛丁頓（1931年）繼續推廣，連結了宇宙中估計帶電粒子的數量 ${\displaystyle N}$  ^[4]：

${\displaystyle {\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}Gm_{e}^{2}}}\approx {\sqrt {N}}\approx 10^{42}}$ .

除了外爾和愛丁頓之外，喬治·勒梅特1933年在劍橋提出的觀點也影響了狄拉克。^[1]而隨時間改變的重力常數 ${\displaystyle G}$  這個概念最早來自於愛德華·亞瑟·米爾恩的構想，比狄拉克的大數假說還要早上幾年。這個構想並非起於這類的大數巧合，而是源自於要打造一個不同於愛因斯坦的廣義相對論。^[5][6]對米爾恩而言，空間單純只是參考系統而並非一個結構。依照他的觀點，愛因斯坦的結論可以改寫為以下的式子：

${\displaystyle G=\left({\frac {c^{3}}{M_{U}}}\right)t}$ 

當中 ${\displaystyle M_{U}}$  是整個宇宙的質量，${\displaystyle t}$  是以秒計算的宇宙年齡。根據這個關係，${\displaystyle G}$  會隨時間增大。

狄拉克對大數巧合的詮釋

外爾與愛丁頓的比值可以用不同的方式作表示，例如：

${\displaystyle {\frac {ct}{r_{e}}}\approx 10^{40}}$ ，

當中 t 為宇宙年齡，${\displaystyle c}$  為光速，r_e 為古典電子半徑。如果用原子單位把 ${\displaystyle c}$  和 r_e 定為1，則宇宙的年齡約為10⁴⁰ 個原子時間單位。這跟一個電子與質子間電磁力和重力的比值落在相同的數量級：

${\displaystyle {\frac {4\pi \epsilon _{0}Gm_{p}m_{e}}{e^{2}}}\approx 10^{-40}}$ 

將電子電荷 ${\displaystyle e}$ 、電子質量、電子/質子質量 ${\displaystyle m_{p}}$ /${\displaystyle m_{e}}$ 、介電常數因子 ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}}$  以原子單位（等於1）表示，則重力常數約為10⁻⁴⁰。狄拉克解釋說這代表重力常數 ${\displaystyle G}$  和時間成反比：${\displaystyle G\approx 1/t\,}$ 。根據廣義相對論， ${\displaystyle G}$  必須為定值，否則能量不守恒。為解決這個問題，狄拉克將愛因斯坦方程式引入了一個規範方程式 β ，用來在原子單位下描述時空結構。另外，狄拉克作了大數假說中另外一個重要的假設：宇宙中不斷地產生新的物質。^[1]

新的物質由以下其中一種方法產生：

• 附加生成：新的物質從空間中均勻產生。
• 倍數生成：新的物質伴隨原有的物質產生。

參考資料

1. S. Ray; U. Mukhopadhyay; P. P. Ghosh. Large Number Hypothesis: A Review. 2007. arXiv:0705.1836   [gr-qc]. 
2. H. Weyl. Zur Gravitationstheorie. Annalen der Physik. 1917, 359 (18): 117. Bibcode:1917AnP...359..117W. doi:10.1002/andp.19173591804. 
3. H. Weyl. Eine neue Erweiterung der Relativitätstheorie. Annalen der Physik. 1919, 364 (10): 101. Bibcode:1919AnP...364..101W. doi:10.1002/andp.19193641002. 
4. A. Eddington. Preliminary Note on the Masses of the Electron, the Proton, and the Universe. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1931, 27: 15. Bibcode:1931PCPS...27...15E. doi:10.1017/S0305004100009269. 
5. E.A. Milne. Relativity, Gravity and World Structure. Oxford University Press. 1935. 
6. H. Kragh. Cosmology and Controversy: The historical development of two theories of the universe. Princeton University Press. 1996: 61–62. 

• P.A.M. Dirac. A New Basis for Cosmology. Proceedings of the Royal Society of London A. 1938, 165 (921): 199–208. Bibcode:1938RSPSA.165..199D. doi:10.1098/rspa.1938.0053. 
• P.A.M. Dirac. The Cosmological Constants. Nature. 1937, 139 (3512): 323. Bibcode:1937Natur.139..323D. doi:10.1038/139323a0. 
• P.A.M. Dirac. Cosmological Models and the Large Numbers Hypothesis. Proceedings of the Royal Society of London A. 1974, 338 (1615): 439–446. Bibcode:1974RSPSA.338..439D. doi:10.1098/rspa.1974.0095. 

外部連結

• Cheng-Gang Shao, Jianyong Shen, Bin Wang: Dirac Cosmology and the Acceleration of the Contemporary Universe（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Saibal Ray, Utpal Mukhopadhyay, Partha Pratim Ghosh: Large Number Hypothesis: A Review（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• gr-qc/0111034 Guillermo A. Mena Marugan, Saulo Carneiro: Holography and the large number hypothesis（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Mysterious Eddington-Dirac Number（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• A. Unzicker: A Look at the Abandoned Contributions to Cosmology of Dirac, Sciama and Dicke (arxiv:0708.3518)（页面存档备份，存于互联网档案馆）